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解：一元一次方程是指只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程。
A選項：$x = 0$，含有一個未知數(shù)$x$，未知數(shù)次數(shù)為1，是整式方程，符合一元一次方程定義。
B選項：$2x - 1$不是等式，所以不是方程。
C選項：$2x - y = 0$含有兩個未知數(shù)$x$和$y$，是二元一次方程，不是一元一次方程。
D選項：當$a = 0$時，若$b \neq 0$，方程無解；若$a = 0$且$b = 0$，方程有無數(shù)解，此時不是一元一次方程，所以該選項不一定是一元一次方程。
綜上，是一元一次方程的是A選項。
答案：A

解：A. 若$a = b$，等式兩邊同時乘以$m$，根據(jù)等式的基本性質，等式仍然成立，即$am = bm$，該選項正確。
B. 若$a^2 = b^2$，則$a = b$或$a = -b$，例如$a = 2$，$b = -2$時，$a^2 = b^2 = 4$，但$a \neq b$，該選項錯誤。
C. 若$a = b$，等式兩邊同時加上相同的數(shù)，等式才成立，左邊加$2$，右邊加$3$，$2 \neq 3$，則$a + 2 \neq b + 3$，該選項錯誤。
D. 若$a = b$，當$c = 0$時，$\frac{a}{c}$和$\frac{c}$無意義，該選項錯誤。
答案：A

解：解方程$5x + 3 = 0$，得$5x=-3$，$x=-\frac{3}{5}$。
因為方程$5x + 3k = 21$與$5x + 3 = 0$的解相同，將$x=-\frac{3}{5}$代入$5x + 3k = 21$，
得$5×(-\frac{3}{5}) + 3k = 21$，即$-3 + 3k = 21$，$3k=24$，$k=8$。
答案：D

解：對原方程$1 - 2(2x - 1) = x$去括號，得$1 - 4x + 2 = x$。
答案：C

解：方程兩邊同乘6，得
2(2x+1)-(10x+1)=6
去括號，得
4x+2-10x-1=6
故選C。

解：因為 $a※b = ab + 2a$，所以
$3※x = 3x + 2×3 = 3x + 6$，
$x※3 = x×3 + 2x = 3x + 2x = 5x$。
則 $(3※x) + (x※3) = (3x + 6) + 5x = 8x + 6$。
已知 $(3※x) + (x※3) = 14$，
所以 $8x + 6 = 14$，
$8x = 14 - 6$，
$8x = 8$，
$x = 1$。
A

解：本金為$x$元，年利率$1.5\%$，存兩年，利息為$1.5\% × 2x$元。
本利和=本金+利息，即$x + 1.5\% × 2x$。
已知兩年后本利和共$61800$元，所以方程為$x + 1.5\% × 2x = 61800$。
答案：B

解：設正方形紙片的邊長為 $ x \, \text{cm} $。
第一次剪下長條的面積為 $ 5x \, \text{cm}^2 $。
剩下長方形的長為 $ x \, \text{cm} $，寬為 $ (x - 5) \, \text{cm} $，第二次剪下長條的面積為 $ 6(x - 5) \, \text{cm}^2 $。
由題意得：$ 5x = 6(x - 5) $
解得：$ x = 30 $
兩個長條的面積之和為 $ 2 × 5x = 10x = 10 × 30 = 300 \, \text{cm}^2 $
答案：C

解：設答對一題得$x$分，答錯一題得$y$分。
由參賽者A：$20x + 0y = 100$，解得$x = 5$。
由參賽者C：$18×5 + 2y = 88$，$90 + 2y = 88$，$2y = -2$，解得$y = -1$。
設參賽者F答對$m$題，答錯$(20 - m)$題，得分$5m - 1×(20 - m) = 6m - 20$。
$m$為整數(shù)且$0 \leq m \leq 20$，得分$6m - 20$。
A. $6m - 20 = 58$，$6m = 78$，$m = 13$（符合）。
B. $6m - 20 = 62$，$6m = 82$，$m = \frac{41}{3}$（不符）。
C. $6m - 20 = 78$，$6m = 98$，$m = \frac{49}{3}$（不符）。
D. $6m - 20 = 93$，$6m = 113$，$m = \frac{113}{6}$（不符）。
答案：A