1. 已知下列一組數：$1,\frac {3}{4},\frac {5}{9},\frac {7}{16},\frac {9}{25},... $,則第n個數為(
C
)
A.$\frac {n}{2n-1}$
B.$\frac {n^{2}-4}{n^{2}}$
C.$\frac {2n-1}{n^{2}}$
D.$\frac {2n+1}{n^{2}}$
答案：C
解析：
觀察這組數：$1=\frac{1}{1^2}$，$\frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}$，$\frac{5}{9}=\frac{5}{3^2}$，$\frac{7}{16}=\frac{7}{4^2}$，$\frac{9}{25}=\frac{9}{5^2}$，...
分子依次為：1，3，5，7，9，...，規(guī)律為$2n - 1$；
分母依次為：$1^2$，$2^2$，$3^2$，$4^2$，$5^2$，...，規(guī)律為$n^2$。
則第$n$個數為$\frac{2n - 1}{n^2}$。
C
2. (2024秋·閔行區(qū)期中)找規(guī)律：$a,4a^{3},9a^{5},16a^{7},... $若n為正整數,則第n個式子是(
D
)
A.$2^{n}a^{n+2}$
B.$n^{2}a^{n+1}$
C.$n^{2}a^{n+2}$
D.$n^{2}a^{2n-1}$
答案：D
解析：
觀察式子系數：1，4，9，16，...，規(guī)律為$1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},...$，第$n$個式子系數是$n^{2}$；
觀察式子$a$的指數：1，3，5，7，...，規(guī)律為$2×1 - 1,2×2 - 1,2×3 - 1,2×4 - 1,...$，第$n$個式子$a$的指數是$2n - 1$；
綜上，第$n$個式子是$n^{2}a^{2n - 1}$。
D
3. (2024秋·東臺期中)觀察下列算式：$2^{1}= 2,2^{2}= 4,2^{3}= 8,2^{4}= 16,2^{5}= 32,2^{6}= 64,2^{7}= 128,2^{8}= 256,... 用你發(fā)現的規(guī)律寫出2^{2024}$的末位數字：______
6
.
答案：6
解析：
觀察算式可知，$2^n$的末位數字以$2,4,8,6$為一個周期循環(huán)出現。
周期長度為$4$，計算$2024÷4 = 506$，余數為$0$。
所以$2^{2024}$的末位數字與$2^4$的末位數字相同，為$6$。
6
4. 觀察下面三行數：
$-3,9,-27,81,-243,... $；
$-5,7,-29,79,-245,... $；
$1,-3,9,-27,81,... $.
(1)第一行數的第n個數是
$(-3)^n$
；
(2)第二、三行的數與第一行對應的數分別有什么關系？
解:第二行的數是第一行對應的數減去2得到的,第三行的數是第一行對應的數除以-3得到的.
(3)取每行第6個數計算它們的和.
解:由(1)(2)可得,第一行的第6個數為$(-3)^6$,第二行的第6個數為$(-3)^6-2$,第三行的第6個數為$(-3)^5$,$(-3)^6+(-3)^6-2+(-3)^5=729+729-2+(-243)=1213$.
答案：(1)$(-3)^n$(2)解:第二行的數是第一行對應的數減去2得到的,第三行的數是第一行對應的數除以-3得到的.(3)解:由(1)(2)可得,第一行的第6個數為$(-3)^6$,第二行的第6個數為$(-3)^6-2$,第三行的第6個數為$(-3)^5$,$(-3)^6+(-3)^6-2+(-3)^5=729+729-2+(-243)=1213$.
5. (2024秋·啟東期中)對于數133,規(guī)定第一次操作為$1^{3}+3^{3}+3^{3}= 55$,第二次操作為$5^{3}+5^{3}= 250$.按此規(guī)律操作下去,則第2024次操作后得到的數是(
A
)
A.250
B.133
C.55
D.24
答案：A
解析：
第一次操作：$1^{3}+3^{3}+3^{3}=1 + 27 + 27=55$
第二次操作：$5^{3}+5^{3}=125 + 125=250$
第三次操作：$2^{3}+5^{3}+0^{3}=8 + 125 + 0=133$
第四次操作：$1^{3}+3^{3}+3^{3}=55$
操作結果以55,250,133循環(huán)，周期為3
$2024÷3=674\cdots\cdots2$，余數為2
第2024次操作后得到的數是250
A
6. 已知下列等式：$2^{2}-1^{2}= 3;3^{2}-2^{2}= 5;4^{2}-3^{2}= 7,... $.
(1)請仔細觀察前三個等式的規(guī)律,寫出第9個等式：
$10^2-9^2=19$
；
(2)請你找出規(guī)律,第n個等式為
$(n+1)^2-n^2=2n+1$
；(用含n的代數式表示)
(3)利用(2)中發(fā)現的規(guī)律計算：$1+3+5+... +101$.
解:因為當$2n+1=101$時,$n=50$,所以$1+3+5+\cdots+101$$=1+2^2-1^2+3^2-2^2+\cdots+51^2-50^2$$=51^2=2601$.
答案：(1)$10^2-9^2=19$(2)$(n+1)^2-n^2=2n+1$(3)解:因為當$2n+1=101$時,$n=50$,所以$1+3+5+\cdots+101$$=1+2^2-1^2+3^2-2^2+\cdots+51^2-50^2$$=51^2=2601$.
