1.【問(wèn)題背景】學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)如圖①,兩端是半圓形,中間是正方形,若其周長(zhǎng)是 257 米,則中間正方形的邊長(zhǎng)是多少米？($\pi$取 3.14)
【分析與解答】(1)某小組采取合作學(xué)習(xí)的方式探究此問(wèn)題,以下是該小組三位同學(xué)的對(duì)話：甲：“把運(yùn)動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行平移變換(如圖②),則圓的周長(zhǎng)+正方形的邊長(zhǎng)×2= 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng).”乙：“圓的周長(zhǎng)可以看作是正方形邊長(zhǎng)的 3.14 倍.”丙：“我們可以用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題!”親愛(ài)的同學(xué),請(qǐng)你幫助他們完成解答.
【拓展延伸】(2)學(xué)校計(jì)劃在此運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)部修建一條寬是 5 米的塑膠跑道(圖③中陰影部分),每平方米塑膠跑道的造價(jià)是 80 元,一共需要多少元?
答案：(1)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米.
由題意得,2x+3.14x=257,解得x=50,
所以中間正方形的邊長(zhǎng)為50米.
(2)兩側(cè)環(huán)形的總面積為3.14×(50÷2)2-3.14×(50÷2-5)2=706.5(平方米),
兩條直道的總面積為5×50×2=500(平方米),
所以一共需要的錢(qián)數(shù)為(500+706.5)×80=96520元.
2.據(jù)國(guó)際田聯(lián)《田徑場(chǎng)地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》,400 米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩條平行的直道和兩條半徑相等的彎道組成,有 8 條跑道,每條跑道均寬 1.2 米,直道長(zhǎng) 87 米;彎道是半圓形,環(huán)形跑道第一圈(最內(nèi)圈)彎道的半徑為 35.00 米到 38.00 米之間.
某校據(jù)國(guó)際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場(chǎng)地實(shí)際情況,建成第一圈彎道的半徑為 36 米的標(biāo)準(zhǔn)跑道.小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長(zhǎng)$(\pi$取 3.14).第一圈長(zhǎng)$:87×2+2\pi(36+1.2×0)\approx400($米);第二圈長(zhǎng)$:87×2+2\pi(36+1.2×1)\approx408($米);第三圈長(zhǎng)$:87×2+2\pi(36+1.2×2)\approx415($米);……
請(qǐng)問(wèn):
(1)第三圈半圓形彎道長(zhǎng)比第一圈半圓形彎道長(zhǎng)多多少米? 小王計(jì)算的第八圈長(zhǎng)是多少?
(2)小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車(chē)(均以所靠邊線長(zhǎng)計(jì)路程),在如圖所示的起跑線同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò) 20 秒兩人在直道第一次相遇.若鄧教練的平均速度是小王平均速度的 2 倍,求他們的平均速度各是多少?
(注:在同側(cè)直道,過(guò)兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí),稱兩人直道相遇)
答案：(1)由題意得:415-400=15(米),
87×2+2π(36+1.2×7)≈453(米).
答:第三圈半圓形彎道長(zhǎng)比第一圈半圓形彎道長(zhǎng)多15米,
小王計(jì)算的第八圈長(zhǎng)約為453米.
(2)設(shè)小王的平均速度為x米/秒,則鄧教練的平均速度為2x米/秒.
根據(jù)題意,得20(x+2x)=400+$\frac{15}{2}$,
解得x=$\frac{163}{24}$,則2x=$\frac{163}{12}$.
答:小王的平均速度為$\frac{163}{24}$米/秒,鄧教練的平均速度為$\frac{163}{12}$米/秒.
