4. 如圖,已知$\angle COD在\angle AOB$的內(nèi)部。
(1) 若 OM,ON 分別平分$\angle AOC$,$\angle BOD$,試說明$\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle COD)$；
(2) 若 OM,ON 分別平分$\angle AOD$,$\angle BOC$,試探究$\angle MON$,$\angle AOB$,$\angle COD$之間的數(shù)量關(guān)系。
答案：4.解:(1)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD.
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON
=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)+∠COD
=$\frac{1}{2}$(∠AOB?∠COD)+∠COD
=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD).
(2)∵OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,
∴∠DOM=$\frac{1}{2}$∠AOD,∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∴∠MON=∠DOM+∠CON?∠COD
=$\frac{1}{2}$(∠AOD+∠BOC)?∠COD
=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD)?∠COD
=$\frac{1}{2}$(∠AOB?∠COD).
5. 如圖,已知 O 為直線 AD 上一點(diǎn),OB 是$\angle AOC內(nèi)部的一條射線且滿足\angle AOB與\angle AOC$互補(bǔ),OM,ON 分別為$\angle AOC$,$\angle AOB$的平分線。
(1) $\angle COD與\angle AOB$相等嗎？請說明理由；
(2) 若$\angle AOB = 30^\circ$,求$\angle MON$的度數(shù)；
(3) 若$\angle MON = \alpha$,求$\angle AOC$的度數(shù)。(用含$\alpha$的式子表示)
答案：5.解:(1)相等.理由如下:
∵∠AOC與∠AOB互補(bǔ),
∴∠AOC+∠AOB=180°,
∵∠AOC+∠COD=180°,
∴∠COD=∠AOB.
(2)∵∠AOB與∠AOC互補(bǔ),∠AOB=30°,
∴∠AOC=180°?30°=150°.
∵OM為∠AOC的平分線,
∴∠AOM=75°.
∵ON為∠AOB的平分線,
∴∠AON=15°,
∴∠MON=∠AOM?∠AON=75°?15°=60°.
(3)∵∠MON=α,
∴∠AOM?∠AON=α,
∴$\frac{1}{2}$∠AOC?$\frac{1}{2}$∠AOB=α,
∴∠AOC?∠AOB=2α,
∴∠AOC?(180°?∠AOC)=2α,
∴2∠AOC=180°+2α,
∴∠AOC=90°+α.
6. 如圖①,在$\angle AOB$的內(nèi)部畫射線 OC,射線 OC 把$\angle AOB$分成兩個角,分別為$\angle AOC和\angle BOC$,若這兩個角中有一個角是另外一個角的 2 倍,則稱射線 OC 為$\angle AOB$的“3 等分線”。
(1) 若$\angle AOB = 90^\circ$,射線 OC 為$\angle AOB$的“3 等分線”,則$\angle AOC$的度數(shù)為______；
(2) 如圖②,$\angle AOB = 60^\circ$,過點(diǎn) O 在$\angle AOB$外部作射線 OP,若 OA,OP,OB 三條射線中,一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“3 等分線”,求$\angle AOP(\angle AOP \leq 180^\circ)$的度數(shù)。
答案：6.(1)30°或60°
(2)解:①當(dāng)OA在∠BOP的內(nèi)部時,如答圖①.
根據(jù)“3等分線”的定義可得∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°或∠AOP=2∠AOB=120°.
②當(dāng)OB在∠AOP的內(nèi)部時,如答圖②.
根據(jù)“3等分線”的定義可得∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°或∠BOP=2∠AOB=120°,
此時∠AOP=30°+60°=90°或∠AOP=120°+60°=180°.
綜上所述，∠AOP的度數(shù)是30°或90°或120°或180°.
