8. (2024春·楊浦區(qū)期末)已知點(diǎn)A,B,C在同一直線上,AB= 20cm,BC= $\frac{1}{3}$AC,若P為AB的中點(diǎn),Q為BC的中點(diǎn),則PQ= ______cm.
[答案]：
7.5或15
答案：7.5或15
解析：
情況1：點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上
設(shè)AC=x cm，則BC=$\frac{1}{3}x$ cm，
∵AC=AB+BC，∴$x=20+\frac{1}{3}x$，解得$x=30$，
∴BC=$\frac{1}{3}×30=10$ cm，
∵P為AB中點(diǎn)，∴PB=$\frac{1}{2}AB=10$ cm，
∵Q為BC中點(diǎn)，∴BQ=$\frac{1}{2}BC=5$ cm，
∴PQ=PB+BQ=10+5=15 cm.
情況2：點(diǎn)C在AB上
設(shè)AC=x cm，則BC=$\frac{1}{3}x$ cm，
∵AC+BC=AB，∴$x+\frac{1}{3}x=20$，解得$x=15$，
∴BC=$\frac{1}{3}×15=5$ cm，
∵P為AB中點(diǎn)，∴PB=$\frac{1}{2}AB=10$ cm，
∵Q為BC中點(diǎn)，∴BQ=$\frac{1}{2}BC=2.5$ cm，
∴PQ=PB-BQ=10-2.5=7.5 cm.
15或7.5
9. (14分)如圖,已知四點(diǎn)A,B,C,D,請(qǐng)用尺規(guī)畫(huà)圖. (保留畫(huà)圖痕跡)
(1)畫(huà)直線AB；
(2)畫(huà)射線AC；
(3)連接BC并延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使得CE= AB+BC；
(4)在線段BD上取點(diǎn)P,使PA+PC的值最小.
答案：解:(1)(2)(3)(4)如答圖所示.
10. (16分)如圖,E是線段AB的中點(diǎn),C是線段EB上一點(diǎn),且EC：CB= 1：4,AC= 12cm.
(1)求AB的長(zhǎng)；
(2)若F為線段CB的中點(diǎn),求EF的長(zhǎng).
答案：解:(1)設(shè)EC的長(zhǎng)為x.
因?yàn)镋C:CB=1:4,
所以BC=4x,
又因?yàn)锽E=BC+CE,
所以BE=5x.
又因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn)，
所以AE=BE=$\frac{1}{2}$AB,
所以AE=5x.
又因?yàn)锳C=AE+EC,AC=12cm,
所以6x=12,解得:x=2,
所以AB=10x=20cm.
(2)在(1)的條件下，因?yàn)镕為線段CB的中點(diǎn)，
所以CF=$\frac{1}{2}$BC=2x,
又因?yàn)镋F=EC+CF,
所以EF=3x=6cm.
11. (22分)如圖,C是線段AB上一點(diǎn),AB= 12cm,AC= 4cm,P,Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A,C出發(fā),以1cm/s,2cm/s的速度沿直線AB向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
(1)當(dāng)t= 1時(shí),CP=
3
cm,QB=
6
cm；
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多長(zhǎng)時(shí),PQ= $\frac{1}{2}$AB？
解:因?yàn)锳P=t,AQ=4+2t,PQ=AQ?AP,
PQ=$\frac{1}{2}$AB,所以(4+2t)?t=$\frac{1}{2}$×12,
解得t=2.
所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$AB.
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多長(zhǎng)時(shí),BQ= AP？
解:因?yàn)锳P=t,BQ=|8?2t|,BQ=AP,
所以t=|8?2t|,解得t=8或t=$\frac{8}{3}$.
所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8s或$\frac{8}{3}$s時(shí),BQ=AP.
答案：(1)3 6
(2)解:因?yàn)锳P=t,AQ=4+2t,PQ=AQ?AP,
PQ=$\frac{1}{2}$AB,所以(4+2t)?t=$\frac{1}{2}$×12,
解得t=2.
所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$AB.
(3)解:因?yàn)锳P=t,BQ=|8?2t|,BQ=AP,
所以t=|8?2t|,解得t=8或t=$\frac{8}{3}$.
所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8s或$\frac{8}{3}$s時(shí),BQ=AP.
