6. 已知線段$AB = 5$,C為直線AB上一點,且$AC:BC = 3:2$,D為線段AC的中點,則線段BD的長為 (
C
)
A.3.5
B.3.5或7.5
C.3.5或2.5
D.2.5或7.5
答案：C
解析：
情況一：C在線段AB上
$AC=\frac{3}{3+2}AB=\frac{3}{5}×5=3$
$BC=AB-AC=5-3=2$
D為AC中點，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$
$BD=AB-AD=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}=3.5$
情況二：C在線段AB延長線上
$AC=\frac{3}{3-2}AB=3×5=15$
$BC=AC-AB=15-5=10$
D為AC中點，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{15}{2}$
$BD=AD-AB=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}=2.5$
綜上，BD的長為3.5或2.5，答案選C。
7. 如圖,C,D為線段AB上的兩點,$AC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}DB$,E是線段DB的中點,若$AB = 10cm$,則CE的長是 (
C
)
A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm
答案：C
解析：
設(shè)$AC = x$，則$CD = 2x$，$DB = 2x$。
$AB = AC + CD + DB = x + 2x + 2x = 5x = 10$，解得$x = 2$。
$AC = 2cm$，$CD = 4cm$，$DB = 4cm$。
E是DB中點，$DE=\frac{1}{2}DB = 2cm$。
$CE = CD + DE = 4 + 2 = 6cm$。
C
8. (2024春·嘉定區(qū)期末)如圖,M是線段AC的中點,B是線段MC上一點,若$\frac{AB}{BC} = \frac{3}{2}$,$MB = 10$,則$AC = $
100
.
答案：100
解析：
設(shè)$AB = 3k$，$BC = 2k$，則$AC=AB + BC=3k + 2k=5k$。
因為$M$是線段$AC$的中點，所以$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}k$。
又因為$MB=AB - AM$，所以$3k-\frac{5}{2}k = 10$，即$\frac{1}{2}k=10$，解得$k = 20$。
則$AC=5k=5×20 = 100$。
100
9. 如圖,A,B,C,D四點在同一條直線上. 若線段AD被點B,C分成了$1:2:3$三部分,M,N分別是線段AB,CD的中點,且$MN = 8cm$,則$AD = $
12
cm.
答案：12
解析：
設(shè) $ AB = x \, \text{cm} $，則 $ BC = 2x \, \text{cm} $，$ CD = 3x \, \text{cm} $。
$ AD = AB + BC + CD = x + 2x + 3x = 6x \, \text{cm} $。
$ M $ 是 $ AB $ 中點，$ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2} \, \text{cm} $。
$ N $ 是 $ CD $ 中點，$ ND = \frac{1}{2}CD = \frac{3x}{2} \, \text{cm} $。
$ MN = AD - AM - ND = 6x - \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = 6x - 2x = 4x $。
由 $ MN = 8 \, \text{cm} $，得 $ 4x = 8 $，解得 $ x = 2 $。
$ AD = 6x = 6 × 2 = 12 \, \text{cm} $。
12
10. 已知A,B,C,D四點在同一直線上,點D在線段AB上.
(1) 如圖,若線段$AB = 24$,C是線段AB的中點,$CD = \frac{1}{3}BD$,求線段CD的長度；
(2) 若線段$AB = 21a$,C是線段AB上一點,且滿足$AC = 2BC$,$AD:BD = 3:4$,求線段CD的長度(用含a的式子表示).
答案：(1)因為線段AB=24,C是線段AB的中點，
所以AC=BC=1/2AB=12.
因為CD=1/3BD,
所以CD=1/4BC=1/4×12=3.
(2)因為點D在線段AB上,AB=21a,AD:BD=3:4,所以AD=9a,BD=12a.
因為AB=21a,AC=2BC,
所以AC=14a,BC=7a,
所以CD=AC?AD=14a?9a=5a.
故線段CD的長度為5a.
11. 如圖,線段$AB = 20cm$,C為AB的中點,點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿線段AB向右運動,到點B停止；點Q從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿線段AB向左運動,到點A停止. 若P,Q兩點同時出發(fā),當(dāng)其中一點停止運動時,另一點也隨之停止. 設(shè)點P的運動時間為$x(x ＞ 0)s$.
(1)$AC = $______cm.
(2) 是否存在某一時刻,使得C,P,Q這三點中,有一點恰為另外兩點所連線段的中點？若存在,求出所有滿足條件的x的值；若不存在,請說明理由.
(1)
10
(2)
存在，當(dāng)x=6或7.5時，C,P,Q三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點。
答案：(1)10
(2)解:存在.
依題意得:AP=2xcm,BQ=xcm
由(1)可知:AC=BC=10cm
分三種情況討論:
(ⅰ)當(dāng)C為PQ的中點時,PC=QC,如答圖①,
因為PC=AC?AP=(10?2x)cm,QC=BC?BQ=(10?x)cm,
所以10?2x=10?x,
解得:x=0(不合題意，舍去).
(ⅱ)當(dāng)P為CQ的中點時,PC=PQ,如答圖②.
因為PC=AP?AC=(2x?10)cm,
所以BP=AB?AP=(20?2x)cm,
所以PQ=BP?BQ=20?2x?x=(20?3x)cm,
所以2x?10=20?3x,
解得:x=6.
(ⅲ)當(dāng)Q為PC的中點時,PC=2CQ,如答圖③.
因為PC=AP?AC=(2x?10)cm,CQ=BC?BQ=(10?x)cm,
所以2x?10=2(10?x),
解得:x=7.5.
綜上所述:當(dāng)x=6或7.5時,C,P,Q三點中,有一點恰為另外兩點所連線段的中點.
