7. 已知線段$AB = 10cm$,直線 AB 上有一點(diǎn) C,且$BC = 4cm$,M 是線段 AC 的中點(diǎn),則 AM 的長(zhǎng)為 (
C
)
A.7cm
B.3cm
C.3cm 或 7cm
D.7cm 或 9cm
答案：C
解析：
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)：
AC=AB-BC=10-4=6cm，
M是AC中點(diǎn)，AM=AC/2=6/2=3cm；
當(dāng)點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)：
AC=AB+BC=10+4=14cm，
M是AC中點(diǎn)，AM=AC/2=14/2=7cm；
AM的長(zhǎng)為3cm或7cm。
C
8. 如圖,點(diǎn) B 是線段 AC 上的點(diǎn),點(diǎn) D 是線段 BC 的中點(diǎn),若$AB = 4cm,AC = 10cm$,則$CD = $
3
cm.
答案：3
解析：
因?yàn)辄c(diǎn)B是線段AC上的點(diǎn)，$AB = 4\,\text{cm}$，$AC = 10\,\text{cm}$，所以$BC=AC - AB=10 - 4=6\,\text{cm}$。
因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，所以$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6 = 3\,\text{cm}$。
3
9. 如圖,C,D 是線段 AB 上的兩點(diǎn)(點(diǎn) C 在點(diǎn) D 的左側(cè)),E,F 分別是線段 AD 和 BC 的中點(diǎn),若$AB = 10,CD = 2$,則線段 EF 的長(zhǎng)為
4
.
答案：4
解析：
設(shè) $ AC = x $，$ DB = y $。
因?yàn)?$ AB = 10 $，$ CD = 2 $，且 $ C $ 在 $ D $ 左側(cè)，所以 $ AC + CD + DB = AB $，即 $ x + 2 + y = 10 $，得 $ x + y = 8 $。
$ AD = AC + CD = x + 2 $，$ E $ 是 $ AD $ 中點(diǎn)，所以 $ AE = \frac{1}{2}AD = \frac{x + 2}{2} $。
$ BC = CD + DB = 2 + y $，$ F $ 是 $ BC $ 中點(diǎn)，所以 $ BF = \frac{1}{2}BC = \frac{2 + y}{2} $。
$ EF = AB - AE - BF = 10 - \frac{x + 2}{2} - \frac{2 + y}{2} = 10 - \frac{x + y + 4}{2} $。
將 $ x + y = 8 $ 代入，得 $ EF = 10 - \frac{8 + 4}{2} = 10 - 6 = 4 $。
4
10. 如圖,B 是線段 AC 上一點(diǎn),D 是 AB 的三等分點(diǎn)(點(diǎn) D 靠近點(diǎn) A),E 是 BC 的中點(diǎn),若$BE = \frac{1}{5}AC = 3cm$,求 DE 的長(zhǎng).
答案：解:因?yàn)锽E=$\frac{1}{5}$AC=3cm,
所以AC=5BE=15cm
因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，
所以BC=2BE=6cm,
則AB=AC?BC=15?6=9(cm),
又因?yàn)镈是AB的三等分點(diǎn)(點(diǎn)D靠近點(diǎn)A)，
所以BD=$\frac{2}{3}$AB=6cm,
所以DE=BD+BE=6+3=9(cm).
11. 如圖①,C,D 是線段 AB 上的兩點(diǎn),$AB = 24,CD = 8,BD = 3AC$.
(1)求線段 AC 的長(zhǎng);
(2)如圖②,若 M 為 AC 的中點(diǎn),點(diǎn) N 在線段 BD 上,且$DN = \frac{1}{3}AD$,求線段 MN 的長(zhǎng).
答案：(1)因?yàn)锳B=24,CD=8,
所以AC+BD=AB?CD=16,
又因?yàn)锽D=3AC,
所以4AC=16,即AC=4.
(2)因?yàn)镈N=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$(AC+CD)=$\frac{1}{3}$×(4+8)=4,又因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，所以AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2.
所以MN=MC+CD+DN
=2+8+4
=14.
12. 如圖①,點(diǎn) C 在線段 AB 上,M,N 分別是線段 AC,BC 的中點(diǎn),且滿(mǎn)足$AC = a,BC = b$.
(1)若$a = 4cm,b = 6cm$,求線段 MN 的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn) C 為線段 AB 上任意一點(diǎn),其他條件不變,你能猜想出線段 MN 的長(zhǎng)度嗎? 直接寫(xiě)出你的猜想結(jié)果;
(3)若點(diǎn) C 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,你能猜想出線段 MN 的長(zhǎng)度嗎? 請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出圖形,寫(xiě)出你的猜想并說(shuō)明理由.
答案：(1)因?yàn)镸,N分別是線段AC,BC的中點(diǎn)，
所以MC=$\frac{1}{2}$AC,CN=$\frac{1}{2}$BC,
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×6 =5(cm),
所以線段MN的長(zhǎng)為5cm.
(2)MN=$\frac{1}{2}$(a+b).
(3)如答圖,MN=$\frac{1}{2}$(a - b).理由如下:
MN=MC?NC=$\frac{1}{2}$AC?$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a?$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$(a?b).
