24. (10分)(2025·宿州模擬)項目式學習：探究圖式之間的內(nèi)在聯(lián)系.
【項目任務(wù)】觀察下列圖形,思考圖形中點的排列規(guī)律,抽象出數(shù)學等式,探究點的總個數(shù).
【項目探究過程】下列是三位同學采用不同方法進行探究的過程,請你完善他們的探究過程.
(1)明明同學將這些點分為兩類,一類是實心點構(gòu)造的正方形點陣,一類是空心點構(gòu)造的正方形點陣,這樣圖①的點總數(shù)可表示為$2^2 + 1^2,$圖②的點總數(shù)可表示為$3^2 + 2^2,$圖③的點總數(shù)可表示為$4^2 + 3^2,$圖④的點總數(shù)可表示為$5^2 + 4^2,…,$圖?的點總數(shù)可表示為
$(n + 1)^2 + n^2$
.
(2)欣欣同學用虛線將這些點進行連接,圖①的點可以表示為1 + 3 + 1,圖②的點可以表示為1 + 3 + 5 + 3 + 1,圖③的點可以表示為1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1,圖④的點可以表示為1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1,…,在欣欣思考的這種連接方式下,圖?中最長虛線上共有
$(2n + 1 )$
個點,她結(jié)合明明的探究,猜想兩種方法利用圖?建立的等式：
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1) + (2n - 1) + \cdots + 3 + 1 = (n + 1)^2 + n^2$
,由此獲得從1開始,連續(xù)n個奇數(shù)的和,即1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) =
$n^2$
.
(3)慧慧同學在欣欣同學方法的啟發(fā)下利用這些點構(gòu)造“回”字圖形,結(jié)合明明同學的探究,由圖①得$1 + 4 = 2^2 + 1^2,$由圖②得$1 + 4 + 8 = 3^2 + 2^2,$由圖③得$1 + 4 + 8 + 12 = 4^2 + 3^2,…,$利用上述規(guī)律計算104 + 108 + 112 + … + 396 + 400的值.
由規(guī)律可得$1 + 4 + 8 + 12 + \cdots + 4n = (n + 1)^2 + n^2$，則$1 + 4 + 8 + \cdots + 100 = 26^2 + 25^2$，$1 + 4 + 8 + \cdots + 400 = 101^2 + 100^2$，所以$104 + 108 + 112 + \cdots + 396 + 400 = 101^2 + 100^2 - 26^2 - 25^2 = 18900$。
答案：
(1)$ (n + 1)^2 + n^2 $
(2)$ (2n + 1 ) $ $ 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1) + (2n - 1) + \cdots + 3 + 1 = (n + 1)^2 + n^2 $ $ n^2 $
(3)由規(guī)律可得 $ 1 + 4 + 8 + 12 + \cdots + 4n = (n + 1)^2 + n^2 $, 則 $ 1 + 4 + 8 + \cdots + 100 = 26^2 + 25^2 $, $ 1 + 4 + 8 + \cdots + 400 = 101^2 + 100^2 $, 所以 $ 104 + 108 + 112 + \cdots + 396 + 400 = 101^2 + 100^2 - 26^2 - 25^2 = 18 900 $.
解析：
(1)$(n + 1)^2 + n^2$
(2)$(2n + 1)$；$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1) + (2n - 1) + \cdots + 3 + 1 = (n + 1)^2 + n^2$；$n^2$
(3)解：由規(guī)律可得$1 + 4 + 8 + 12 + \cdots + 4n = (n + 1)^2 + n^2$
因為$4n = 100$時，$n = 25$，所以$1 + 4 + 8 + \cdots + 100 = 26^2 + 25^2$
因為$4n = 400$時，$n = 100$，所以$1 + 4 + 8 + \cdots + 400 = 101^2 + 100^2$
則$104 + 108 + 112 + \cdots + 396 + 400 = (1 + 4 + 8 + \cdots + 400) - (1 + 4 + 8 + \cdots + 100)$
$= 101^2 + 100^2 - 26^2 - 25^2$
$= (10201 + 10000) - (676 + 625)$
$= 20201 - 1301$
$= 18900$
25. (14分)(2025·蘇州期中)如圖,甲、乙兩人(看成點)分別在數(shù)軸-14和15的位置上,沿數(shù)軸做移動游戲.每次移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”,然后根據(jù)輸贏結(jié)果進行移動.
①若平局,則甲向東移動1個單位長度,同時乙向西移動1個單位長度；
②若甲贏,則甲向東移動3個單位長度,同時乙向東移動1個單位長度；
③若乙贏,則甲向西移動1個單位長度,同時乙向西移動3個單位長度.
(1)從如圖的位置開始,若完成了1次移動游戲,甲、乙“石頭、剪刀、布”的結(jié)果為平局,則移動后甲、乙兩人相距
27
個單位長度.
(2)從如圖的位置開始,若完成了10次移動游戲,發(fā)現(xiàn)甲、乙每次都有輸有贏(無平局).設(shè)乙贏了n次,且他最終停留的位置對應的數(shù)為m,試用含n的式子表示m,并求出該位置距離原點O最近時n的值.
因為乙贏了n次，所以乙輸了(10 - n)次。乙贏n次后位置為15 - 3n，輸(10 - n)次后位置為15 - 3n + (10 - n)，故m = 25 - 4n。當n = 6時，該位置距離原點O最近。
(3)從如圖的位置開始,若進行了k次移動游戲后,甲與乙的位置相距3個單位長度,直接寫出k的值.
k = 13 或 k = 16
答案：(1)27 解析:完成了 1 次移動游戲, 結(jié)果為平局, 則甲向東移動 1 個單位長度到 -13, 乙向西移動 1 個單位長度到 14, 移動后甲、乙兩人相距 $ 14 - ( - 13 ) = 27 $ (個) 單位長度. (2) 因為乙贏了 $ n $ 次, 所以乙輸了 $ (10 - n) $ 次. 因為若乙贏, 則甲向西移動 1 個單位長度, 同時乙向西移動 3 個單位長度, 所以乙贏了 $ n $ 次后, 乙停留的位置對應的數(shù)為 $ 15 - 3n $. 因為若甲贏, 則甲向東移動 3 個單位長度, 同時乙向東移動 1 個單位長度, 所以乙輸了 $ (10 - n) $ 次后, 乙停留的位置對應的數(shù)為 $ 15 - 3n + (10 - n) $, 根據(jù)題意得 $ 15 - 3n + (10 - n) = m $, 所以 $ m = 25 - 4n $. 因為 $ n $ 為正整數(shù), 所以當 $ n = 6 $ 時, 該位置距離原點 $ O $ 最近. (3)$ k = 13 $ 或 $ k = 16 $. 解析:由題意可得剛開始兩人的距離為 29, 因為若平局, 則甲向東移動 1 個單位長度, 同時乙向西移動 1 個單位長度, 所以若平局 (甲小于乙), 移動后甲、乙的距離縮小 2 個單位長度. 因為若甲贏, 則甲向東移動 3 個單位長度, 同時乙向東移動 1 個單位長度, 所以若甲贏 (甲小于乙), 移動后甲、乙的距離縮小 2 個單位長度. 因為若乙贏, 則甲向西移動 1 個單位長度, 同時乙向西移動 3 個單位長度, 所以若乙贏 (甲小于乙), 移動后甲、乙的距離縮小 2 個單位長度, 所以甲、乙每移動一次, 甲、乙的距離縮小 2 個單位長度. 因為甲與乙的位置相距 3 個單位長度有兩種情況: ①甲與乙的距離縮小 26 個單位長度, 此時 $ k = 26 ÷ 2 = 13 $ (次); ②甲與乙的距離縮小到 0 后又增加到 3 個單位長度, 此時 $ k = (29 + 3) ÷ 2 = 16 $ (次). 綜上所述, $ k $ 的值為 13 或 16.
解析：
(1)27
(2)解：因為乙贏了$n$次，所以乙輸了$(10 - n)$次。
乙贏$n$次后位置：$15 - 3n$；乙輸$(10 - n)$次后位置：$15 - 3n + (10 - n)$。
則$m = 15 - 3n + 10 - n = 25 - 4n$。
當$n = 6$時，$m = 25 - 24 = 1$，距離原點最近。
(3)$k = 13$或$k = 16$
