5. (2025·南京期中)某商戶去批發(fā)市場購買了單價為 $ m $ 元的甲糖果 $ 20 $ 斤和單價為 $ n $ 元的乙糖果 $ 10 $ 斤,然后將兩種糖果混合,以單價 $ \frac { m + n } { 2 } $ 元全部賣出,若 $ m ＞ n $,則關于該商戶的盈虧情況,判斷正確的是(
A
)
A.賠了
B.賺了
C.不賠不賺
D.無法確定
答案：A 解析:$(20 + 10)\frac{m + n}{2}-20m - 10n = 15m + 15n - 20m - 10n = 5n - 5m = 5(n - m)$，因為 $m ＞ n$，所以 $5(n - m)＜0$，所以該商戶賠了。故選 A。
6. (2024·無錫期中)某野生動物園門票價格為 $ 60 $ 元/張,并推出了兩種購票方案,且兩種方案不能同時使用。
|方案一：當團購門票數(shù)不超過 $ 40 $ 張時,無優(yōu)惠；當團購門票數(shù)超過 $ 40 $ 張時,超過的部分每張優(yōu)惠 $ 10 $ 元。|方案二：愛心捐款認養(yǎng)小動物,每捐款 $ 500 $ 元,則所購門票每張優(yōu)惠 $ 2 $ 元；且捐款額必須為 $ 500 $ 的整數(shù)倍,最多捐款 $ 5000 $ 元。|
設某旅游團一次性購買門票 $ x $ 張($ x $ 為正整數(shù))。
(1)如果選擇方案一,求該旅游團購買門票的費用。
當0＜x≤40時，費用為60x元；當x＞40時，費用為(50x + 400)元。
(2)如果選擇方案二,該旅游團愛心捐款 $ m $ 個 $ 500 $ 元($ m $ 為正整數(shù))。
① 該旅游團一共需要花費的總費用為______元；(用含 $ m $,$ x $ 的代數(shù)式表示)
60x + 500m - 2mx
② 當 $ x ＞ 40 $ 時,無論 $ x $ 取什么值,都存在一個正整數(shù) $ m $,使選擇方案二的總費用始終比選擇方案一的總費用多某個固定值,則 $ m $ 的值為______,固定值為______。
5
2100
答案：(1) 由題意可得，如果選擇方案一，當$0 ＜ x \leq 40$時，總費用可表示為$60x$元；當$x ＞ 40$時，總費用可表示為$60×40+(x - 40)×(60 - 10)=(50x + 400)$元。
(2)① $(60x + 500m - 2mx)$ 解析: 總費用可表示為 $500m+(60 - 2m)x = (60x + 500m - 2mx)$ 元。
② 5 2100 解析:$(60x + 500m - 2mx)-(50x + 400)=60x + 500m - 2mx - 50x - 400=(10 - 2m)x+(500m - 400)$，因為當 $x＞40$ 時，無論 $x$ 取什么值，都存在一個正整數(shù) $m$，使選擇方案二的總費用始終比選擇方案一的總費用多某個固定值，所以 $10 - 2m = 0$，得 $m = 5$，則 $500m - 400 = 500×5 - 400 = 2100$。即 $m$ 的值是 5，此固定值是 2100。
7. (2024·常州期中)工廠接到訂單,需要邊長為 $ ( a + 3 ) $ 和 $ 3 $ 的兩種正方形卡紙。
(1)倉庫只有邊長為 $ ( a + 3 ) $ 的正方形卡紙,現(xiàn)決定將部分邊長為 $ ( a + 3 ) $ 的正方形卡紙,按圖①所示裁剪得邊長為 $ 3 $ 的正方形卡紙。
① 如圖②,當 $ a = 2 $ 時,裁剪正方形后剩余部分的面積為______
16
；
② 剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖③所示的長方形(不重疊無縫隙),則拼成的長方形的周長為______
4a + 12
。(用含 $ a $ 的代數(shù)式表示)
(2)若將裁得的正方形卡紙與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部,按圖④,圖⑤兩種方式放置(圖④,圖⑤中兩張正方形卡紙均有部分重疊),盒子底部中未被這兩張正方形卡紙覆蓋的部分用陰影表示,設圖④中陰影部分的面積為 $ S _ { 1 } $,圖⑤中陰影部分的面積為 $ S _ { 2 } $,測得盒子底部長方形長比寬多 $ 5 $,則 $ S _ { 2 } - S _ { 1 } $ 的值為______
15
。
答案：(1)① 16 解析:因為 $a = 2$，根據(jù)題意，得 $(2 + 3)^{2}-3^{2}=25 - 9 = 16$。
② $4a + 12$ 解析:拼成的長方形的寬是 $a + 3 - 3 = a$，長為 $a + 3 + 3 = a + 6$，所以拼成的長方形的周長為 $2(a + a + 6)=4a + 12$。
(2) 15 解析:因為盒子底部長方形長比寬多 5，設盒子底部長方形的寬 $AB = x$，則長 $BC = x + 5$，則 $S_{1}=x(x + 5)-(a + 3)^{2}-3^{2}+3(a + 3 + 3 - x - 5)$，$S_{2}=x(x + 5)-(a + 3)^{2}-3^{2}+3(a + 3 + 3 - x)$，所以 $S_{2}-S_{1}=15$。
8. 我們知道絕對值的幾何意義為數(shù)軸上一點到原點的距離。如 $ | 5 | $ 的幾何意義為表示 $ 5 $ 的點到原點的距離,也可理解為 $ | 5 | = | 5 - 0 | $,即表示 $ 5 $ 的點到表示 $ 0 $ 的點的距離。又如 $ | 5 - 3 | $ 表示 $ 5 $,$ 3 $ 在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離,一般地,點 $ A $,$ B $ 在數(shù)軸上分別表示有理數(shù) $ a $,$ b $,那么 $ A $,$ B $ 之間的距離可表示為 $ | a - b | $。
(1)$ | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + | x - 4 | + … + | x - 50 | $ 的最小值是______
625
；
(2)求 $ | a + 3 | + 2 | a - 2 | + 3 | a - 4 | $ 的最小值
11
；
(3)$ ( | x + 1 | + | x - 2 | ) ( | y - 2 | + | y + 1 | ) ( | z - 3 | + | z + 1 | ) = 36 $,求 $ x + 2 y + 3 z $ 的最大值和最小值
最大值為15，最小值為-6
。
答案：(1) 625 解析:根據(jù)絕對值的幾何意義與奇點偶段法可知，當 $x$ 在 $25\cdots26$ 之間時(含端點)有最小值為 $|x - 1|+|x - 2|+|x - 3|+|x - 4|+\cdots+|x - 50|=x - 1 + x - 2 + x - 3 + x - 4+\cdots+x - 25 + 26 - x + 27 - x+\cdots+50 - x=-1 - 2 - 3 - 4-\cdots-25 + 26 + 27+\cdots+49 + 50 = 625$。
(2) 11 解析:解法一:$|a + 3|+|a - 2|+|a - 2|+|a - 4|+|a - 4|+|a - 4|$ 的幾何意義為表示 $a$ 的點分別到點 $-3$，$2$，$2$，$4$，$4$，$4$ 的距離之和，當 $a$ 在 $2\sim4$ 間時(含端點)有最小值，此時原式 $=11$。
解法二:當 $a$ 大于等于 4 時，$|a + 3|+2|a - 2|+3|a - 4|=a + 3 + 2a - 4 + 3a - 12 = 6a - 13$，當 $a = 4$ 時，取得最小值為 $6×4 - 13 = 11$；當 $a$ 在 2 和 4 之間(不含 4)時，$|a + 3|+2|a - 2|+3|a - 4|=a + 3 + 2a - 4 - 3a + 12 = 11$；當 $a$ 在 $-3$ 和 2 之間(不含 2)時，$|a + 3|+2|a - 2|+3|a - 4|=a + 3 - 2a + 4 - 3a + 12 = -4a + 19$，此時無最小值；當 $a＜-3$ 時，$|a + 3|+2|a - 2|+3|a - 4|=-a - 3 - 2a + 4 - 3a + 12 = -6a + 13$，此時無最小值。綜上可得，式子的最小值為 11。
(3) $|x + 1|+|x - 2|$ 表示數(shù)軸上表示數(shù) $x$ 的點到表示 $-1$ 和 2 的點的距離之和，當 $x$ 在 $-1$ 與 2 之間時(含端點)，$|x + 1|+|x - 2|=3$，當 $x$ 在 $-1$ 的左側時，$x$ 到 2 的距離大于 3，當 $x$ 在 2 的右側時，$x$ 到 $-1$ 的距離大于 3，所以當 $x$ 在 $-1$ 和 2 之間時，$|x + 1|+|x - 2|$ 有最小值 3，同理，當 $y$ 在 $-1$ 和 2 之間時，$|y - 2|+|y + 1|$ 有最小值 3，當 $z$ 在 $-1$ 和 3 之間時，$|z - 3|+|z + 1|$ 有最小值 4。
因為 $(|x + 1|+|x - 2|)(|y - 2|+|y + 1|)(|z - 3|+|z + 1|)=36$，所以各自均取最小值，當 $x = -1$，$y = -1$，$z = -1$ 時，$x + 2y + 3z$ 的值最小，$x + 2y + 3z=-6$，當 $x = 2$，$y = 2$，$z = 3$ 時，$x + 2y + 3z$ 的值最大，$x + 2y + 3z = 15$。綜上所述，$x + 2y + 3z$ 的最大值為 15，最小值為 $-6$。
