1. 定義：若一個兩位數(shù) $ k $,滿足 $ k = m ^ { 2 } + m n + n ^ { 2 } $($ m $,$ n $ 為正整數(shù)),則稱該兩位數(shù) $ k $ 為“類完全平方數(shù)”,記 $ F ( k ) = m n $。例如：$ 39 = 2 ^ { 2 } + 2 × 5 + 5 ^ { 2 } $,則 $ 39 $ 是一個“類完全平方數(shù)”,且 $ F ( 39 ) = 2 × 5 = 10 $。若兩位數(shù) $ a $ 是一個“類完全平方數(shù)”,且 $ F ( a ) = \frac { a - 9 } { 3 } $,則 $ a $ 的最大值為______
93
。
答案：93 解析:因為兩位數(shù) $a$ 是一個“類完全平方數(shù)”，且 $F(a)=\frac{a - 9}{3}$，所以 $a - 9$ 是 3 的倍數(shù)，當(dāng) $a - 9 = 99$ 時，$a = 108$，不滿足 $a$ 是兩位數(shù)；當(dāng) $a - 9 = 96$ 時，$a = 105$，不滿足 $a$ 是兩位數(shù)；當(dāng) $a - 9 = 93$ 時，$a = 102$，不滿足 $a$ 是兩位數(shù)；當(dāng) $a - 9 = 90$ 時，$a = 99$，滿足 $a$ 是兩位數(shù)，因為 $F(99)=\frac{99 - 9}{3}=30 = 1×30 = 2×15 = 3×10 = 5×6$，又因為 $1^{2}+1×30 + 30^{2}=931$，$2^{2}+2×15 + 15^{2}=259$，$3^{2}+3×10 + 10^{2}=139$，$5^{2}+5×6 + 6^{2}=91$，所以 $a = 99$ 不符合題意；當(dāng) $a - 9 = 87$ 時，$a = 96$，滿足 $a$ 是兩位數(shù)，因為 $F(96)=\frac{96 - 9}{3}=29 = 1×29$，又因為 $1^{2}+1×29 + 29^{2}=871$，所以 $a = 96$ 不符合題意；當(dāng) $a - 9 = 84$ 時，$a = 93$，滿足 $a$ 是兩位數(shù)，因為 $F(93)=\frac{93 - 9}{3}=28 = 1×28 = 2×14 = 4×7$，又因為 $4^{2}+4×7 + 7^{2}=93$，所以 $a = 93$ 符合題意，所以 $a$ 的最大值為 93。
解析：
解：因為兩位數(shù)$a$是“類完全平方數(shù)”，且$F(a)=\frac{a - 9}{3}$，所以$a - 9$是3的倍數(shù)。
兩位數(shù)$a$最大為99，從大到小依次驗證：
當(dāng)$a = 99$時，$F(a)=\frac{99 - 9}{3}=30$，$mn = 30$，可能的$(m,n)$為$(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)$。計算得$1^2 + 1×30 + 30^2 = 931$，$2^2 + 2×15 + 15^2 = 259$，$3^2 + 3×10 + 10^2 = 139$，$5^2 + 5×6 + 6^2 = 91$，均不等于99，不符合。
當(dāng)$a = 96$時，$F(a)=\frac{96 - 9}{3}=29$，$mn = 29$，$(m,n)=(1,29)$，$1^2 + 1×29 + 29^2 = 871≠96$，不符合。
當(dāng)$a = 93$時，$F(a)=\frac{93 - 9}{3}=28$，$mn = 28$，$(m,n)=(4,7)$時，$4^2 + 4×7 + 7^2 = 16 + 28 + 49 = 93$，符合題意。
故$a$的最大值為$93$。
答案：93
(1)$2\otimes 6=$
$-\frac{2009}{2}$
,$[-\pi]^{[\pi]}=$
$-64$
；
(2)求$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025$的值；
依題意，$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025 = 1 + 2 + 3+\cdots+2025 - 2024×\frac{2025}{2}=\frac{1 + 2025}{2}×2025-\frac{2024×2025}{2}=2025$。
(3)若有理數(shù)$m$,$n$滿足$m = 2 [ n ] = 3 [ n + 1 ] $,請直接寫出$m\otimes [ m + n ] $的結(jié)果。
$-\frac{2055}{2}$
答案：(1) $-\frac{2009}{2}$ $-64$
(2) 依題意，$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025 = 1 + 2 + 3+\cdots+2025 - 2024×\frac{2025}{2}=\frac{1 + 2025}{2}×2025-\frac{2024×2025}{2}=2025$。
(3) $m\otimes [m + n]=-\frac{2055}{2}$ 解析:因為 $[n + 1]=[n]+1$，$2[n]=3[n + 1]$，所以 $2[n]=3[n]+3$，所以 $[n]=-3$，所以 $m = 2×(-3)=-6$，所以 $[m + n]=[-6 + n]=-9$，所以 $m\otimes [m + n]=(-6)\otimes (-9)=-6 - 9-\frac{2025}{2}=-\frac{2055}{2}$。
3. (2025·無錫期中)已知多項式 $ A = 3 x ^ { 2 } - b x + 6 $,$ B = 2 a x ^ { 2 } + 4 x - 1 $。
(1)若 $ ( a + 3 ) ^ { 2 } + | b - 2 | = 0 $,求代數(shù)式 $ 2 A + B $ 的值；
(2)若代數(shù)式 $ 2 A + B $ 的值與 $ x $ 無關(guān),求 $ ( a + b ) ^ { 2024 } $ 的值。
答案：(1) 因為 $(a + 3)^{2}+|b - 2| = 0$，所以 $a + 3 = 0$，$b - 2 = 0$，所以 $a = -3$，$b = 2$，所以 $2A + B = 2(3x^{2}-2x + 6)+(-6x^{2}+4x - 1)=6x^{2}-4x + 12 - 6x^{2}+4x - 1 = 11$。
(2) $2A + B = 2(3x^{2}-bx + 6)+(2ax^{2}+4x - 1)=6x^{2}-2bx + 12 + 2ax^{2}+4x - 1=(6 + 2a)x^{2}+(-2b + 4)x + 11$，因為代數(shù)式的值與 $x$ 無關(guān)，所以 $6 + 2a = 0$，$-2b + 4 = 0$，所以 $a = -3$，$b = 2$，所以 $(a + b)^{2024}=(-3 + 2)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
4. (2024·鎮(zhèn)江期中)若多項式 $ M $,$ N $ 滿足：$ M + 2 N = 8 x y - 3 x - 4 y - 2 $,$ 2 M - N = x y - 6 x + 2 y + 11 $。我們可以通過添加括號求出多項式 $ M $,過程如下：
$ 5 M = ( M + 2 N ) + 2 ( 2 M - N ) $
$ = ( 8 x y - 3 x - 4 y - 2 ) + 2 ( x y - 6 x + 2 y + 11 ) $
$ = 10 x y - 15 x + 20 $
則 $ M = 2 x y - 3 x + 4 $
(1)請用類似的方法求出多項式 $ N $；
因為 $M + 2N = 8xy - 3x - 4y - 2$，$2M - N = xy - 6x + 2y + 11$，所以 $5N = 2(M + 2N)-(2M - N)=2(8xy - 3x - 4y - 2)-(xy - 6x + 2y + 11)=16xy - 6x - 8y - 4 - xy + 6x - 2y - 11 = 15xy - 10y - 15$，所以 $N = 3xy - 2y - 3$。
(2)當(dāng) $ x $,$ y $ 互為倒數(shù),多項式 $ M $ 的值為 $ 0 $ 時,求此時多項式 $ N $ 的值；
因為 $x$，$y$ 互為倒數(shù)，所以 $xy = 1$。又因為 $M = 2xy - 3x + 4 = 0$，所以 $2 - 3x + 4 = 0$，所以 $x = 2$，則 $y=\frac{1}{2}$，所以 $N = 3xy - 2y - 3 = 3 - 2×\frac{1}{2}-3=-1$。
(3)當(dāng) $ y = $______時,無論字母 $ x $ 取何值,多項式 $ M $ 的值總比多項式 $ N $ 的值大 $ 1 $。
-3
答案：(1) 因為 $M + 2N = 8xy - 3x - 4y - 2$，$2M - N = xy - 6x + 2y + 11$，所以 $5N = 2(M + 2N)-(2M - N)=2(8xy - 3x - 4y - 2)-(xy - 6x + 2y + 11)=16xy - 6x - 8y - 4 - xy + 6x - 2y - 11 = 15xy - 10y - 15$，所以 $N = 3xy - 2y - 3$。
(2) 因為 $x$，$y$ 互為倒數(shù)，所以 $xy = 1$。又因為 $M = 2xy - 3x + 4 = 0$，所以 $2 - 3x + 4 = 0$，所以 $x = 2$，則 $y=\frac{1}{2}$，所以 $N = 3xy - 2y - 3 = 3 - 2×\frac{1}{2}-3=-1$。
(3) $-3$ 解析:$M - N=(2xy - 3x + 4)-(3xy - 2y - 3)=2xy - 3x + 4 - 3xy + 2y + 3=-xy - 3x + 2y + 7=-(3 + y)x + 2y + 7$，因為無論字母 $x$ 取何值，多項式 $M$ 的值總比多項式 $N$ 的值大 1，所以 $3 + y = 0$，解得 $y = -3$，此時 $-(3 + y)x + 2y + 7 = 0 + 2×(-3)+7 = 1$。
