11. 觀察下面一系列等式：
①$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2^1$；
②$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 2^2$；
③$2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$；
④______；
…
(1)請(qǐng)按這個(gè)順序仿照前面的等式寫(xiě)出第④個(gè)等式：
$2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$
；
(2)根據(jù)你上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,用含字母n的式子表示第?個(gè)等式：
$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$
，并說(shuō)明這個(gè)規(guī)律的正確性；
(3)請(qǐng)利用上述規(guī)律計(jì)算：$2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100}$。
根據(jù)規(guī)律，$2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}=(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+(2^{4}-2^{3})+\cdots+(2^{101}-2^{100})=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+2^{4}-2^{3}+\cdots+2^{101}-2^{100}=-2^{1}+2^{101}=2^{101}-2$。
答案：(1) $2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$ (2) $2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$ 說(shuō)明：因?yàn)?$2^{n + 1}-2^{n}=\underbrace{2×2×2×\cdots×2}_{(n + 1)\text{個(gè)}2}-\underbrace{2×2×2×\cdots×2}_{n\text{個(gè)}2}=\underbrace{2×2×2×\cdots×2}_{n\text{個(gè)}2}×(2 - 1)=\underbrace{2×2×2×\cdots×2}_{n\text{個(gè)}2}=2^{n}$，所以 $2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$. (3) 根據(jù)規(guī)律，$2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}=(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+(2^{4}-2^{3})+\cdots+(2^{101}-2^{100})=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+2^{4}-2^{3}+\cdots+2^{101}-2^{100}=-2^{1}+2^{101}=2^{101}-2$.
解析：
(1) $2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$
(2) $2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$
說(shuō)明：$2^{n + 1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=(2 - 1)×2^{n}=1×2^{n}=2^{n}$
(3) $2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}$
$=(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+(2^{4}-2^{3})+\cdots+(2^{101}-2^{100})$
$=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+2^{4}-2^{3}+\cdots+2^{101}-2^{100}$
$=2^{101}-2^{1}$
$=2^{101}-2$
12. 新趨勢(shì) 數(shù)學(xué)文化 分形的概念是由數(shù)學(xué)家本華·曼德博提出的。如圖是分形的一種,第1個(gè)圖案有2個(gè)三角形；第2個(gè)圖案有4個(gè)三角形；第3個(gè)圖案有8個(gè)三角形；第4個(gè)圖案有16個(gè)三角形；…。下列數(shù)據(jù)中是按此規(guī)律分形得到的三角形的個(gè)數(shù)是(
D
)
A.126
B.513
C.980
D.1024
答案：D
解析：
解：第1個(gè)圖案三角形個(gè)數(shù)：2=21
第2個(gè)圖案三角形個(gè)數(shù)：4=22
第3個(gè)圖案三角形個(gè)數(shù)：8=23
第4個(gè)圖案三角形個(gè)數(shù)：16=2?
規(guī)律：第n個(gè)圖案三角形個(gè)數(shù)為2?（n為正整數(shù)）
選項(xiàng)中1024=21?，符合規(guī)律。
答案：D
13. 新考法 (2025·淄博期中)生物課題小組對(duì)附著在物體表面的三個(gè)
微生物(課題組成員把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3)的生長(zhǎng)情況進(jìn)行觀察記錄,這三個(gè)微生物第1天各自一分為二產(chǎn)生新的微生物(依次標(biāo)號(hào)為4,5,6,7,8,9),接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化,即每個(gè)微生物一分為二,形成新的微生物(課題組成員用如圖所示的圖形進(jìn)行形象地記錄),那么標(biāo)號(hào)為100的微生物會(huì)出現(xiàn)在(
B
)
A.第4天
B.第5天
C.第6天
D.第7天
答案：B 解析：第一天產(chǎn)生新的微生物有 6 個(gè)標(biāo)號(hào)，第二天產(chǎn)生新的微生物有 12 個(gè)標(biāo)號(hào)，以此類(lèi)推，第三天、第四天、第五天……產(chǎn)生新的微生物分別有 24 個(gè)，48 個(gè)，96 個(gè)，所以標(biāo)號(hào)為 100 的微生物會(huì)出現(xiàn)在第 5 天. 故選 B.
14. (2025·南京校級(jí)月考)平移小平行四邊形◇可以得到美麗的“中國(guó)結(jié)”圖案,下面四個(gè)圖案是由小平行四邊形◇平移后得到的類(lèi)似“中國(guó)結(jié)”的圖案,按圖中規(guī)律,在第n個(gè)圖案中,小平行四邊形◇的個(gè)數(shù)是______
$2n^{2}$
。
答案：$2n^{2}$ 解析：第一個(gè)圖形有 $2×1^{2}=2$（個(gè)）小平行四邊形；第二個(gè)圖形有 $2×2^{2}=8$（個(gè)）小平行四邊形；第三個(gè)圖形有 $2×3^{2}=18$（個(gè)）小平行四邊形……第 $n$ 個(gè)圖形有 $2n^{2}$ 個(gè)小平行四邊形.
解析：
第1個(gè)圖案中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：$2×1^{2}=2$；
第2個(gè)圖案中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：$2×2^{2}=8$；
第3個(gè)圖案中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：$2×3^{2}=18$；
第4個(gè)圖案中小平行四邊形的個(gè)數(shù)為：$2×4^{2}=32$；
……
按此規(guī)律，第$n$個(gè)圖案中小平行四邊形的個(gè)數(shù)是$2n^{2}$。
$2n^{2}$
15. (2025·無(wú)錫期末)用若干黑白兩色的正方形按如圖所示的方式擺放,依此規(guī)律,第n個(gè)圖形中小正方形的總個(gè)數(shù)是
$(n + 1)^{2}$
；若第n個(gè)圖形中白色正方形的個(gè)數(shù)記為$S_n$,計(jì)算：$(1 + \frac{1}{S_1})×(1 + \frac{1}{S_2})×(1 + \frac{1}{S_3})×…×(1 + \frac{1}{S_{20}}) = $
$\frac{21}{11}$
。
答案：$(n + 1)^{2}$ $\frac{21}{11}$ 解析：第 1 個(gè)圖形：小正方形的總個(gè)數(shù)是 $(1 + 1)^{2}=4$；第 2 個(gè)圖形：小正方形的總個(gè)數(shù)是 $(2 + 1)^{2}=9$；第 3 個(gè)圖形：小正方形的總個(gè)數(shù)是 $(3 + 1)^{2}=16$；第 4 個(gè)圖形：小正方形的總個(gè)數(shù)是 $(4 + 1)^{2}=25\cdots\cdots$ 以此類(lèi)推，第 $n$ 個(gè)圖形中小正方形的總個(gè)數(shù)是 $(n + 1)^{2}$；因?yàn)榈?$n$ 個(gè)圖形中白色正方形的個(gè)數(shù)記為 $S_{n}$，所以 $S_{1}=(1 + 1)^{2}-1 = 3$，$S_{2}=(2 + 1)^{2}-1 = 8$，$S_{3}=(3 + 1)^{2}-1 = 15$，$S_{4}=(4 + 1)^{2}-1 = 24\cdots\cdots$ 以此類(lèi)推：第 $n$ 個(gè)圖形中白色正方形的個(gè)數(shù)記為 $S_{n}=(n + 1)^{2}-1$，所以 $(1+\frac{1}{S_{1}})×(1+\frac{1}{S_{2}})×(1+\frac{1}{S_{3}})×\cdots×(1+\frac{1}{S_{20}})=(1+\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{15})×\cdots×(1+\frac{1}{440})=\frac{4}{3}×\frac{9}{8}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×\cdots×\frac{441}{440}=\frac{3}{2}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×\cdots×\frac{441}{440}=\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{5}{3}×\cdots×\frac{441}{440}=\frac{5}{3}×\frac{36}{35}×\frac{49}{48}×\cdots×\frac{441}{440}=\frac{5}{3}×\frac{3}{5}×\frac{7}{4}×\cdots×\frac{441}{440}=\frac{7}{4}×\frac{64}{63}×\frac{81}{80}×\cdots×\frac{400}{399}×\frac{441}{440}=\frac{7}{4}×\frac{4}{7}×\frac{9}{5}×\cdots×\frac{21}{11}=\frac{21}{11}$.
解析：
第n個(gè)圖形中小正方形的總個(gè)數(shù)是$(n + 1)^{2}$；
計(jì)算過(guò)程：
$S_{n}=(n + 1)^{2}-1$
$(1+\frac{1}{S_{1}})×(1+\frac{1}{S_{2}})×\cdots×(1+\frac{1}{S_{20}})$
$=(1+\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{8})×\cdots×(1+\frac{1}{440})$
$=\frac{4}{3}×\frac{9}{8}×\frac{16}{15}×\cdots×\frac{441}{440}$
$=\frac{21}{11}$
$(n + 1)^{2}$；$\frac{21}{11}$
