1. 四個同學(xué)研究一列數(shù)：1,-3,5,-7,9,-11,13,…,按照此規(guī)律,他們得出第n個數(shù)分別如下,你認為正確的是(
D
)
A.$2n - 1$
B.$1 - 2n$
C.$(-1)^n(2n - 1)$
D.$(-1)^{n + 1}(2n - 1)$
答案：D
解析：
觀察這列數(shù)：1，-3，5，-7，9，-11，13，…
先看符號：第1個數(shù)為正，第2個數(shù)為負，第3個數(shù)為正，第4個數(shù)為負，…，規(guī)律為奇數(shù)項正，偶數(shù)項負，可用$(-1)^{n+1}$表示符號；
再看絕對值：1，3，5，7，9，11，13，…，是連續(xù)奇數(shù)，第n個數(shù)的絕對值為$2n - 1$；
綜上，第n個數(shù)為$(-1)^{n+1}(2n - 1)$。
答案：D
2. (2023·牡丹江中考)觀察下面兩行數(shù)：
1,5,11,19,29,…
1,3,6,10,15,…
取每行數(shù)的第7個數(shù),計算這兩個數(shù)的和是(
C
)
A.92
B.87
C.83
D.78
答案：C 解析：第一行的數(shù)規(guī)律為 $n^{2}+n - 1$，第二行的數(shù)規(guī)律為 $\frac{n^{2}+n}{2}$，所以第一行的第 7 個數(shù)為 $7^{2}+7 - 1 = 55$，第二行的第 7 個數(shù)為 $\frac{7^{2}+7}{2}=28$，所以 $55 + 28 = 83$，故選 C.
3. (2023·常德中考)觀察圖中的數(shù)表(橫排為行,豎排為列),按數(shù)表中的規(guī)律,分數(shù)$\frac{20}{2023}$若排在第a行第b列,則$a - b$的值為(
C
)
A.2003
B.2004
C.2022
D.2023
答案：C 解析：觀察數(shù)表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故 $\frac{20}{2023}$ 在第 20 列，即 $b = 20$；向前遞推到第 1 列時，分數(shù)為 $\frac{20 - 19}{2023 + 19}=\frac{1}{2042}$，故分數(shù) $\frac{20}{2023}$ 與分數(shù) $\frac{1}{2042}$ 在同一行，即在第 2042 行，則 $a = 2042$，所以 $a - b = 2042 - 20 = 2022$. 故選 C.
4. (廣西中考)觀察下列一行數(shù)：4,1,-8,1,16,1,-32,1,64,1,-128,1,…,則第19個數(shù)與第20個數(shù)的和為
-2047
。
答案：-2047 解析：觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：這列數(shù)的第偶數(shù)個數(shù)都是 1，第奇數(shù)個數(shù)是 $(-2)^{\frac{n + 1}{2}+1}$，所以當 $n = 19$ 時，這個數(shù)為 $(-2)^{\frac{19 + 1}{2}+1}=-2048$，當 $n = 20$ 時，這個數(shù)為 1，所以第 19 個數(shù)與第 20 個數(shù)的和為 $-2048 + 1 = -2047$.
解析：
解：觀察數(shù)列可知，第偶數(shù)個數(shù)均為1；第奇數(shù)個數(shù)的規(guī)律為：當n為奇數(shù)時，第n個數(shù)是$(-2)^{\frac{n + 1}{2}+1}$。
第19個數(shù)是奇數(shù)項，$n=19$，則這個數(shù)為$(-2)^{\frac{19 + 1}{2}+1}=(-2)^{11}=-2048$。
第20個數(shù)是偶數(shù)項，為1。
第19個數(shù)與第20個數(shù)的和為$-2048 + 1 = -2047$。
答案：-2047
5. (2024·濰坊中考)將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表。記$a_{(i,j)}$為數(shù)表中第i行第j列位置的數(shù)字,如$a_{(1,2)} = 4$,$a_{(3,2)} = 8$,$a_{(5,4)} = 22$。若$a_{(m,n)} = 2024$,則$m = $
45
,$n = $
2
。
答案：45 2 解析：由題圖中排布可知，當正整數(shù)為 $k^{2}$ 時，若 $k$ 為奇數(shù)，則 $k^{2}$ 在第 $k$ 行，第 1 列，下一個數(shù)在下一行，上一個數(shù)在第 2 列；若 $k$ 為偶數(shù)，則 $k^{2}$ 在第 1 行，第 $k$ 列，下一個數(shù)在下一列，上一個數(shù)在第 2 行；因為 $a_{(m,n)} = 2024 = 2025 - 1 = 45^{2} - 1$，而 $2025 = 45^{2}$ 在第 45 行，第 1 列，所以 2024 在第 45 行，第 2 列，所以 $m = 45$，$n = 2$.
6. 觀察多項式：$2a + b$,$4a^2 - b^3$,$6a^3 + b^5$,$8a^4 - b^7$,…,根據(jù)規(guī)律,第6個多項式為(
B
)
A.$12a^6 + b^{11}$
B.$12a^6 - b^{11}$
C.$10a^6 - b^{13}$
D.$10a^6 - b^{11}$
答案：B
解析：
解：觀察多項式系數(shù)、字母指數(shù)及符號規(guī)律：
系數(shù)：2，4，6，8…，第n項系數(shù)為2n，第6項系數(shù)為12；
a的指數(shù)：1，2，3，4…，第n項a的指數(shù)為n，第6項a的指數(shù)為6；
b的指數(shù)：1，3，5，7…，第n項b的指數(shù)為2n-1，第6項b的指數(shù)為11；
符號：+，-，+，-…，第n項符號為$(-1)^{n+1}$，第6項符號為-。
綜上，第6個多項式為$12a^6 - b^{11}$。
答案：B
7. “數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思維,觀察下面的圖形和算式：
$1 = 1 = 1^2$；
$1 + 3 = 4 = 2^2$；
$1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$；
$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$；
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$；
…
解答下列問題：請用上面得到的規(guī)律計算：$21 + 23 + 25 + 27 + … + 101 = $
B
A.2601
B.2501
C.2400
D.2419
答案：B 解析：根據(jù)圖形和算式的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律：$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots + 19 = 100 = 10^{2}$，$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + \cdots + 101 = 51^{2}$，所以 $21 + 23 + 25 + 27 + \cdots + 101 = 51^{2} - 10^{2} = 2501$. 故選 B.
8. (2024·寧夏中考)觀察下列等式：
第1個：$1×2 - 2 = 2^2×0$；第2個：$4×3 - 3 = 3^2×1$；
第3個：$9×4 - 4 = 4^2×2$；第4個：$16×5 - 5 = 5^2×3$。
按照以上規(guī)律,第n個等式為
$n^{2}(n + 1)-(n + 1)=(n + 1)^{2}(n - 1)$
。
答案：$n^{2}(n + 1)-(n + 1)=(n + 1)^{2}(n - 1)$ 解析：觀察算式可知，序號的平方乘序號加 1 的積減去序號加 1 的結(jié)果等于序號加 1 的平方乘序號減 1 的差，所以第 $n$ 個等式為 $n^{2}(n + 1)-(n + 1)=(n + 1)^{2}(n - 1)$.
解析：
觀察等式可得：
第1個等式中，$1=1^2$，$2=1+1$，$0=1-1$，等式為$1^2×(1+1)-(1+1)=(1+1)^2×(1-1)$；
第2個等式中，$4=2^2$，$3=2+1$，$1=2-1$，等式為$2^2×(2+1)-(2+1)=(2+1)^2×(2-1)$；
第3個等式中，$9=3^2$，$4=3+1$，$2=3-1$，等式為$3^2×(3+1)-(3+1)=(3+1)^2×(3-1)$；
第4個等式中，$16=4^2$，$5=4+1$，$3=4-1$，等式為$4^2×(4+1)-(4+1)=(4+1)^2×(4-1)$。
則第n個等式為$n^{2}(n + 1)-(n + 1)=(n + 1)^{2}(n - 1)$。
答案：$n^{2}(n + 1)-(n + 1)=(n + 1)^{2}(n - 1)$
9. 如圖中的程序所示,輸入一個整數(shù)便會按程序進行計算：
設(shè)輸入的x值為18,那么根據(jù)程序,第1次計算的結(jié)果為9；第2次計算的結(jié)果為4；…；這樣下去第5次計算的結(jié)果是
-4
；第299次計算的結(jié)果是
-4
。
答案：-4 -4 解析：輸入 18，依次得到的結(jié)果為 9，4，2，1，-4，-2，-1，-6，-3，-8，-4，-2，-1，…，顯然除去前 4 次結(jié)果外，從第 5 次的結(jié)果 -4 開始，每 6 次一循環(huán)，而 $(299 - 4)÷6 = 49\cdots\cdots1$，故第 299 次計算的結(jié)果為 -4.
解析：
解：輸入18，依次計算結(jié)果如下：
第1次：18是偶數(shù)，$18÷2 = 9$；
第2次：9是奇數(shù)，$9 - 5 = 4$；
第3次：4是偶數(shù)，$4÷2 = 2$；
第4次：2是偶數(shù)，$2÷2 = 1$；
第5次：1是奇數(shù)，$1 - 5 = -4$；
第6次：-4是偶數(shù)，$-4÷2 = -2$；
第7次：-2是偶數(shù)，$-2÷2 = -1$；
第8次：-1是奇數(shù)，$-1 - 5 = -6$；
第9次：-6是偶數(shù)，$-6÷2 = -3$；
第10次：-3是奇數(shù)，$-3 - 5 = -8$；
第11次：-8是偶數(shù)，$-8÷2 = -4$；
第12次：-4是偶數(shù)，$-4÷2 = -2$；
……
由以上計算可知，從第5次結(jié)果-4開始，每6次一循環(huán)（-4，-2，-1，-6，-3，-8）。
計算第299次結(jié)果：
$(299 - 4)÷6 = 295÷6 = 49\cdots\cdots1$，其中余數(shù)為1，循環(huán)部分第1個結(jié)果為-4。
故第5次計算的結(jié)果是-4；第299次計算的結(jié)果是-4。
-4；-4
10. 觀察下列各式：$-1×\frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$,$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$,…。
(1)猜想：$-\frac{1}{100}×\frac{1}{101} = $
$-\frac{1}{100}+\frac{1}{101}$
；(寫成和的形式)
(2)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n + 1} = $
$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1}$
；(n為正整數(shù))
(3)用規(guī)律計算：$(-1×\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}) + … + (-\frac{1}{999}×\frac{1}{1000}) + (-\frac{1}{1000}×\frac{1}{1001}) = $
$-\frac{1000}{1001}$
。
答案：(1) $-\frac{1}{100}+\frac{1}{101}$ (2) $-\frac{1}{n}+\frac{1}{n + 1}$ (3) $-\frac{1000}{1001}$ 解析：原式 $=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots-\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}=-1+\frac{1}{1001}=-\frac{1000}{1001}$.
