1. (2024·濟(jì)寧期中)根據(jù)等式和不等式的性質(zhì),可以得到:若$a - b ＞ 0$,則$a ＞ b$;若$a - b = 0$,則$a = b$;若$a - b ＜ 0$,則$a ＜ b$.這是利用“作差法”比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式值的大小.
(1)試比較代數(shù)式$5m^{2}-4m + 2與4m^{2}-4m - 7$的值的大小.
解:$(5m^{2}-4m + 2)-(4m^{2}-4m - 7)= 5m^{2}-4m + 2 - 4m^{2}+4m + 7 = m^{2}+9$,因?yàn)?m^{2}$是非負(fù)數(shù),所以$m^{2}+9 ＞ 0$,所以$5m^{2}-4m + 2$
＞
$4m^{2}-4m - 7$.(用“＞”或“＜”填空)
(2)已知$A = 5m^{2}-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})$,$B = 7(m^{2}-m)+3$,請(qǐng)你運(yùn)用前面介紹的方法比較代數(shù)式$A與B$的大小.
因?yàn)?A=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2}),B=7(m^{2}-m)+3$,所以$A-B=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2})-7(m^{2}-m)-3=5m^{2}-7m+2-7m^{2}+7m-3=-2m^{2}-1$.因?yàn)?-2m^{2}$是非正數(shù),所以$-2m^{2}-1＜0$,則$A＜B$.
(3)已知$A = 6m^{2}+4m + 2$,$B = 3(2m^{2}+m + 1)$,比較代數(shù)式$A與B$的大小.
因?yàn)?A=6m^{2}+4m+2,B=3(2m^{2}+m+1)$,所以$A-B=6m^{2}+4m+2-3(2m^{2}+m+1)=m-1$,當(dāng)$m＞1$時(shí),$m-1＞0$,則$A＞B$;當(dāng)$m=1$時(shí),$m-1=0$,則$A=B$;當(dāng)$m＜1$時(shí),$m-1＜0$,則$A＜B$.
答案：1. (1) ＞ 解析:$(5m^{2}-4m+2)-(4m^{2}-4m-7)=5m^{2}-4m+2-4m^{2}+4m+7=m^{2}+9$,因?yàn)?m^{2}$是非負(fù)數(shù),所以$m^{2}+9＞0$,所以$5m^{2}-4m+2＞4m^{2}-4m-7$.
(2) 因?yàn)?A=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2}),B=7(m^{2}-m)+3$,所以$A-B=5m^{2}-4(\frac {7}{4}m-\frac {1}{2})-7(m^{2}-m)-3=5m^{2}-7m+2-7m^{2}+7m-3=-2m^{2}-1$.因?yàn)?-2m^{2}$是非正數(shù),所以$-2m^{2}-1＜0$,則$A＜B$.
(3) 因?yàn)?A=6m^{2}+4m+2,B=3(2m^{2}+m+1)$,所以$A-B=6m^{2}+4m+2-3(2m^{2}+m+1)=m-1$,當(dāng)$m＞1$時(shí),$m-1＞0$,則$A＞B$;當(dāng)$m=1$時(shí),$m-1=0$,則$A=B$;當(dāng)$m＜1$時(shí),$m-1＜0$,則$A＜B$.
2. 新趨勢(shì) 過程性學(xué)習(xí) 一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)為$a$,個(gè)位上的數(shù)為$b$,這個(gè)兩位數(shù)記作$\overline{ab}$;一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)為$x$,十位上的數(shù)為$y$,個(gè)位上的數(shù)為$z$,這個(gè)三位數(shù)記作$\overline{xyz}$.
(1)$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除嗎? 請(qǐng)說明理由.
(2)小明發(fā)現(xiàn):如果$(x + y + z)$能被3整除,那么$\overline{xyz}$就能被3整除.請(qǐng)補(bǔ)全小明的證明思路.
答案：2.
(1)$(\overline {ab}+\overline {ba})$能被 11 整除. 理由:一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)為 a,個(gè)位上的數(shù)為 b,則$\overline {ab}=10a+b,\overline {ba}=10b+a$,所以$\overline {ab}+\overline {ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)$,所以$(\overline {ab}+\overline {ba})$能被 11 整除.
(2) ①$100x+10y+z$ ②$(99x+9y)$ 解析:因?yàn)?\overline {xyz}=100x+10y+z=(99x+9y)+(x+y+z)$,代數(shù)式$(99x+9y),(x+y+z)$都能被 3 整除,所以$\overline {xyz}$能被 3 整除.
3. (2024·南昌期末)如圖,正方形$ABCD和正方形ECGF的邊長(zhǎng)分別為a$和6,點(diǎn)$C$,$D$,$E$在一條直線上,點(diǎn)$B$,$C$,$G$在一條直線上,將依次連接點(diǎn)$D$,$E$,$F$,$B$,$D所圍成的陰影部分的面積記為S_{陰影}$.
(1)試用含$a的代數(shù)式表示S_{陰影}$;
(2)當(dāng)$a = 12$時(shí),比較$S_{陰影}與\triangle BGF$面積的大小.
答案：3. (1) 由題意得$S_{陰影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}-S_{△ABD}-S_{△BFG}=a^{2}+6^{2}-\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}×6(a+6)=a^{2}+36-\frac {1}{2}a^{2}-3a-18=\frac {1}{2}a^{2}-3a+18$.
(2) 當(dāng)$a=12$時(shí),$S_{陰影}=\frac {1}{2}×12^{2}-3×12+18=54,S_{△BCF}=\frac {1}{2}×6×(6+12)=54$,所以$S_{陰影}=S_{△BCF}$.
4. (2025·深圳期中)三張大小不一的正方形紙片按如圖①和圖②方式分別放置于相同的長(zhǎng)方形中,它們既不重疊也無空隙,記圖①陰影部分周長(zhǎng)之和為$m$,圖②陰影部分周長(zhǎng)為$n$,要求$m與n$的差,只需知道一個(gè)圖形的周長(zhǎng),這個(gè)圖形是______.(填①或②或③)
③
答案：4. ③ 解析:設(shè)正方形①的邊長(zhǎng)為 a,正方形②的邊長(zhǎng)為 b,正方形③的邊長(zhǎng)為 c,由題意,得$m=2[c+(a-c)]+2[b+(a+c-b)]=2c+2a-2c+2b+2a+2c-2b=4a+2c,n=2[(a+b-c)+(a+c-b)]=2a+2b-2c+2a+2c-2b=4a$,所以$m-n=4a+2c-4a=2c$,所以只需要知道正方形③的周長(zhǎng)即可得到 m 與 n 的差,故答案為③.
解析：
設(shè)正方形①的邊長(zhǎng)為$a$，正方形②的邊長(zhǎng)為$b$，正方形③的邊長(zhǎng)為$c$。
對(duì)于圖①陰影部分周長(zhǎng)之和$m$：
$\begin{aligned}m&=2[c+(a - c)] + 2[b+(a + c - b)]\\&=2c + 2a - 2c + 2b + 2a + 2c - 2b\\&=4a + 2c\end{aligned}$
對(duì)于圖②陰影部分周長(zhǎng)$n$：
$\begin{aligned}n&=2[(a + b - c)+(a + c - b)]\\&=2a + 2b - 2c + 2a + 2c - 2b\\&=4a\end{aligned}$
則$m - n=(4a + 2c)-4a=2c$，所以只需知道正方形③的周長(zhǎng)。
答案：③
