9. 有理數(shù)中,是有理數(shù)而不是整數(shù)的數(shù)是
分?jǐn)?shù)
,是整數(shù)而不是正數(shù)的數(shù)是
0 和負(fù)整數(shù)
,是負(fù)數(shù)而不是分?jǐn)?shù)的數(shù)是
負(fù)整數(shù)
,最小的自然數(shù)是
0
。
答案：分?jǐn)?shù) 0 和負(fù)整數(shù) 負(fù)整數(shù) 0
10. (1)觀察以下一列數(shù)的特點(diǎn)：$0,1,-4,9,-16,25,…$,則第13個(gè)數(shù)是
-144
。
(2)一列數(shù)：$\frac {1}{1},-\frac {1}{2},\frac {2}{2},-\frac {1}{2},\frac {1}{3},-\frac {2}{3},\frac {3}{3},-\frac {2}{3},\frac {1}{3},-\frac {1}{4},\frac {2}{4},-\frac {3}{4},\frac {4}{4},-\frac {3}{4},\frac {2}{4},-\frac {1}{4},…$,則$-\frac {5}{12}$是第
126 或 140
個(gè)數(shù)。
答案：(1)-144 解析：觀察規(guī)律可得第 13 個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)且等于-144。 (2)126 或 140 解析：分母為 1 的有 1 個(gè)數(shù)，分母為 2 的有 3 個(gè)數(shù)，分母為 3 的有 5 個(gè)數(shù)……故按此規(guī)律排列，分母為$1\sim11$的共有$1+3+5+7+\cdots+21=121（$個(gè)）數(shù)，分母為 12 的有 23 個(gè)數(shù)，從前往后數(shù)，第一個(gè)$-\frac{5}{12}$應(yīng)排在第 5 個(gè)，則在整列數(shù)中應(yīng)排在第 126 個(gè)，第二個(gè)$-\frac{5}{12}$應(yīng)排在第 19 個(gè)，則在整列數(shù)中應(yīng)排在第 140 個(gè)。
解析：
(1) 觀察數(shù)列：0，1，-4，9，-16，25，…，
第1個(gè)數(shù)：$0 = -(1 - 1)^2$，
第2個(gè)數(shù)：$1 = (2 - 1)^2$，
第3個(gè)數(shù)：$-4 = - (3 - 1)^2$，
第4個(gè)數(shù)：$9 = (4 - 1)^2$，
……
規(guī)律為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為$-(n - 1)^2$；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)數(shù)為$(n - 1)^2$。
第13個(gè)數(shù)，n=13（奇數(shù)），則第13個(gè)數(shù)是$-(13 - 1)^2 = -12^2 = -144$。
(2) 分母為1的數(shù)有1個(gè)，分母為2的數(shù)有3個(gè)，分母為3的數(shù)有5個(gè)，……，分母為k的數(shù)有$(2k - 1)$個(gè)。
分母為1到11的數(shù)的總個(gè)數(shù)為：$1 + 3 + 5 + \cdots + (2×11 - 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 21$，這是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為21，公差為2的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為11項(xiàng)，總和為$\frac{11×(1 + 21)}{2} = 121$個(gè)。
分母為12的數(shù)有$2×12 - 1 = 23$個(gè)，這些數(shù)為：$\frac{1}{12}, -\frac{2}{12}, \frac{3}{12}, -\frac{4}{12}, \frac{5}{12}, -\frac{6}{12}, \cdots, \frac{12}{12}, \cdots, -\frac{5}{12}, \cdots, -\frac{1}{12}$。
其中$-\frac{5}{12}$在分母為12的數(shù)中，第一次出現(xiàn)是第5個(gè)，第二次出現(xiàn)是第$23 - 4 = 19$個(gè)（因?yàn)閷?duì)稱）。
所以$-\frac{5}{12}$是第$121 + 5 = 126$個(gè)數(shù)或$121 + 19 = 140$個(gè)數(shù)。
(1)-144
(2)126 或 140
11. (2024·鹽城期中)小明的媽媽在某玩具廠工作,廠里規(guī)定每個(gè)工人每周要生產(chǎn)某種玩具70個(gè),平均每天生產(chǎn)10個(gè),但由于種種原因,實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入,下表是小明媽媽某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù))：
|星期|一|二|三|四|五|六|日|
|增減產(chǎn)值|+6|-3|-2|+2|-1|+4|0|
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)求出小明媽媽星期四生產(chǎn)玩具
12
個(gè)；
(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)求小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具多少個(gè)；
6-3-2+2-1+4+0=6（個(gè)），70+6=76（個(gè)），所以小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具 76 個(gè)。
(3)該廠實(shí)行“每周計(jì)件工資制”,每生產(chǎn)一個(gè)玩具可得工資15元,若超額完成任務(wù),則超過(guò)部分每個(gè)另獎(jiǎng)勵(lì)8元；少生產(chǎn)一個(gè)則倒扣8元,那么小明媽媽這一周的工資總額是多少元？
76×15+6×8=1188（元），所以小明媽媽這一周的工資總額是 1188 元。
答案：(1)12 (2)6-3-2+2-1+4+0=6（個(gè)），70+6=76（個(gè)），所以小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具 76 個(gè)。 (3)76×15+6×8=1188（元），所以小明媽媽這一周的工資總額是 1188 元。
12. 黑板上有10個(gè)互不相同的有理數(shù),小明說(shuō)：“其中有6個(gè)整數(shù)?！毙〖t說(shuō)：“其中有6個(gè)正數(shù)。”小華說(shuō)：“其中正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)相等?！毙×终f(shuō)：“負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè)?！闭?qǐng)你根據(jù)四位同學(xué)的描述,判斷這10個(gè)有理數(shù)中共有
1
個(gè)負(fù)整數(shù)。
答案：1 解析：因?yàn)?10 個(gè)有理數(shù)中有 6 個(gè)正數(shù)，所以負(fù)數(shù)和 0 共有 4 個(gè)。因?yàn)樨?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò) 3 個(gè)，所以負(fù)數(shù)共有 3 個(gè)。因?yàn)橛?6 個(gè)整數(shù)，且正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)相等，(10-6)÷2=2（個(gè)），所以負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為 2，所以負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)為3-2=1。
13. 無(wú)限循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)呢？請(qǐng)你仔細(xì)閱讀材料：由于小數(shù)部分位數(shù)是無(wú)限的,所以不可能寫(xiě)成十分之幾、百分之幾、千分之幾等等的數(shù)。轉(zhuǎn)化時(shí)需要先去掉無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú)限小數(shù)部分”。一般是用擴(kuò)倍的方法,把無(wú)限循環(huán)小數(shù)擴(kuò)大為原來(lái)的十倍、一百倍或一千倍……使擴(kuò)大后的無(wú)限循環(huán)小數(shù)與原無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú)限小數(shù)部分”完全相同,然后這兩個(gè)數(shù)相減,這樣“大尾巴”就減掉了。
例題：把$0.\dot {3}和0.2\dot {1}\dot {7}$化為分?jǐn)?shù)。
解：因?yàn)?0.\dot {3}×10= 3.\dot {3}$,所以$0.\dot {3}×10 - 0.\dot {3}= 3.\dot {3} - 0.\dot {3}$,所以$0.\dot {3}×(10 - 1)= 3$,
即$0.\dot {3}= \frac {3}{9}= \frac {1}{3}$。
因?yàn)?0.2\dot {1}\dot {7}×10= 2.\dot {1}\dot {7}$ ①,
$0.2\dot {1}\dot {7}×1000= 217.\dot {1}\dot {7}$ ②,
所以由② - ①得$0.2\dot {1}\dot {7}×1000 - 0.2\dot {1}\dot {7}×10= 217.\dot {1}\dot {7} - 2.\dot {1}\dot {7}$,即$0.2\dot {1}\dot {7}×(1000 - 10)= 215$,
所以$0.2\dot {1}\dot {7}= \frac {215}{990}= \frac {43}{198}$。
請(qǐng)用上述方法解決下面的問(wèn)題。
(1)把$0.\dot {1}\dot {7}$化成分?jǐn)?shù)；
(2)把$0.3\dot {1}\dot {3}$化成分?jǐn)?shù)。
答案：(1)因?yàn)?0.\dot{1}\dot{7}×100=17.\dot{1}\dot{7}，$所以$0.\dot{1}\dot{7}×100-0.\dot{1}\dot{7}=17.\dot{1}\dot{7}-0.\dot{1}\dot{7}=17，$$0.\dot{1}\dot{7}×(100-1)=17，$$0.\dot{1}\dot{7}=\frac{17}{99}。$ (2)因?yàn)?0.3\dot{1}\dot{3}×10=3.\dot{1}\dot{3} ①，$$0.3\dot{1}\dot{3}×1000=313.\dot{1}\dot{3} ②，$所以由②-①，可得$0.3\dot{1}\dot{3}×1000-0.3\dot{1}\dot{3}×10=310，$$0.3\dot{1}\dot{3}×(1000-10)=310，$$0.3\dot{1}\dot{3}=\frac{310}{990}=\frac{31}{99}。$
