11.(1)已知關于x,y的多項式$mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y$中不含三次項,則式子$2m+3n$的值是
5
.
(2)關于x的多項式$(a-2)x^{2}+2x^{a+1}+3x^{3}-a+4(a＞0)$合并后是三項式,則a的值為
1或4
.
答案：(1) $5$ 解析: 因為 $mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y=(m - 2)x^{3}+(3n - 1)xy^{2}+y$ 中不含三次項, 所以 $m - 2 = 0$ 且 $3n - 1 = 0$, 解得 $m = 2$, $n=\frac{1}{3}$, 則 $2m + 3n = 4 + 1 = 5$. (2) $1$ 或 $4$ 解析: 當 $a + 1 = 2$, 即 $a = 1$ 時, 原式 $=x^{2}+3x^{3}+3$, 符合題意; 當 $a + 1 = 3$, 即 $a = 2$ 時, 原式 $=5x^{3}+2$, 不符合題意; 當 $-a + 4 = 0$, 即 $a = 4$ 時, 原式 $=2x^{2}+2x^{5}+3x^{3}$, 符合題意; 當 $a - 2 = 0$, 即 $a = 2$ 時, 原式 $=5x^{3}+2$, 不符合題意. 綜上, $a$ 的值為 $1$ 或 $4$.
解析：
(1) 解：$mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y=(m - 2)x^{3}+(3n - 1)xy^{2}+y$，
∵多項式不含三次項，
∴$m - 2 = 0$，$3n - 1 = 0$，
解得$m = 2$，$n=\frac{1}{3}$，
∴$2m + 3n = 2×2 + 3×\frac{1}{3}=4 + 1 = 5$。
(2) 解：
① 當$a + 1 = 2$，即$a = 1$時，原式$=(1 - 2)x^{2}+2x^{2}+3x^{3}-1 + 4=-x^{2}+2x^{2}+3x^{3}+3=x^{2}+3x^{3}+3$，為三項式，符合題意；
② 當$a + 1 = 3$，即$a = 2$時，原式$=(2 - 2)x^{2}+2x^{3}+3x^{3}-2 + 4=5x^{3}+2$，為二項式，不符合題意；
③ 當$-a + 4 = 0$，即$a = 4$時，原式$=(4 - 2)x^{2}+2x^{5}+3x^{3}-4 + 4=2x^{2}+2x^{5}+3x^{3}$，為三項式，符合題意；
④ 當$a - 2 = 0$，即$a = 2$時，同②，不符合題意。
綜上，$a = 1$或$4$。
答案：(1)$5$；(2)$1$或$4$
12.(2025·上海期中)如果一個多項式的各個項的次數(shù)都相同,那么我們就稱這個多項式為齊次多項式.例如：$x^{2}+2xy+y^{2}$,它各個項的次數(shù)都是2次的,我們就說這個多項式是齊次多項式.已知多項式$A= x^{2}-xy+2$,若多項式A與一個三次整式B的和為齊次多項式,那么這個三次整式B可以是
$x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$
(寫出一個符合要求的即可).
答案：$x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$ (答案不唯一) 解析: 根據(jù)題意, 多項式 $A = x^{2}-xy + 2$ 不是齊次多項式, 其最高次數(shù)為 $2$, 而整式 $B$ 為三次整式, 故只需 $B$ 含有多項式 $-x^{2}+xy - 2$ 讓其與 $A$ 合并相消, 且其余各項次數(shù)為 $3$ 即可. 所以三次整式 $B$ 可以為 $x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$. (答案不唯一)
解析：
解：因為多項式$A = x^{2}-xy + 2$，要使$A$與三次整式$B$的和為齊次多項式，且$B$是三次整式，所以和的次數(shù)應為$3$次。
則$B$需包含三次項，同時消去$A$中的二次項和常數(shù)項。
可令$B = x^{3}-x^{2}+xy - 2$（答案不唯一）。
此時$A + B = (x^{2}-xy + 2)+(x^{3}-x^{2}+xy - 2)=x^{3}$，是三次齊次多項式。
故這個三次整式$B$可以是$x^{3}-x^{2}+xy - 2$。
（答案不唯一，例如$y^{3}-x^{2}+xy - 2$等也符合要求）
13.(1)有這樣一道題：“當$a= 2024,b= -2025$時,求多項式$8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025$的值.”小明認為：本題中$a= 2024,b= -2025$是多余的條件.小強反對說：“這不可能,多項式中含有a和b,如果不給出a,b的值,那么就不能求出多項式的值.”你同意誰的觀點？請說明理由.
(2)已知代數(shù)式$3x^{2}+2bx-y+4-\frac {1}{2}ax^{2}-7x+5y$的值與字母x的取值無關,求a,b的值.
答案：(1) 我同意小明的觀點. 理由如下: $8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025=(8 + 4 - 12)a^{3}+(5 - 5)a^{3}b+(3 - 3)a^{2}b+2025 = 2025$, 因為結果與 $a$, $b$ 的值無關, 所以本題中 $a = 2024$, $b=-2025$ 是多余的條件. 故同意小明的觀點. (2) $3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y=(3-\frac{1}{2}a)x^{2}+(2b - 7)x + 4y + 4$, 因為代數(shù)式 $3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y$ 的值與字母 $x$ 的取值無關, 所以 $3-\frac{1}{2}a = 0$, $2b - 7 = 0$, 解得 $a = 6$, $b=\frac{7}{2}$.
解析：
(1) 我同意小明的觀點。理由如下：
$\begin{aligned}&8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025\\=&(8 + 4 - 12)a^{3}+(-5 + 5)a^{3}b+(3 - 3)a^{2}b+2025\\=&0a^{3}+0a^{3}b+0a^{2}b+2025\\=&2025\end{aligned}$
因為化簡結果為常數(shù)2025，與$a$，$b$的值無關，所以$a=2024$，$b=-2025$是多余的條件。
(2)
$\begin{aligned}&3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y\\=&(3-\frac{1}{2}a)x^{2}+(2b - 7)x + 4y + 4\end{aligned}$
因為代數(shù)式的值與$x$的取值無關，所以$3-\frac{1}{2}a=0$，$2b - 7=0$。
解得$a=6$，$b=\frac{7}{2}$。
14.新題型 新定義 “柳庭風靜人眠晝,晝眠人靜風庭柳”,從左向右讀與從右向左讀完全相同,這樣的詩稱為回文詩.在數(shù)學中也有這樣的一類數(shù).一個自然數(shù)從左向右讀與從右向左讀完全相等,這樣的數(shù)稱為回文數(shù),如121與1221均為回文數(shù).回文數(shù)減去其各個數(shù)位上的數(shù)字的差值稱為回自差,如121的回自差為$121-1-2-1= 117$.
(1)請你直接寫出最小的三位回文數(shù),并求其回自差；
(2)任意三位回文數(shù)的回自差最大能被哪個正整數(shù)整除？請你說明理由.
答案：(1) 由題意得, 最小的三位回文數(shù)為 $101$, 所以最小的三位回文數(shù)的回自差為 $101 - 1 - 0 - 1 = 99$. (2) 任意三位回文數(shù)的回自差最大能被 $9$ 整除, 理由如下: 設一個三位回文數(shù)為 $\overline{aba}(a\neq0)$, 其中 $a$, $b$ 都為不超過 $9$ 的自然數(shù), 則該三位回文數(shù)為 $100a + 10b + a = 101a + 10b$, 所以該三位回文數(shù)的回自差為 $101a + 10b - a - b - a = 99a + 9b$. 因為 $a$, $b$ 都是整數(shù), $99a$ 和 $9b$ 都能被 $9$ 整除, 所以任意三位回文數(shù)的回自差最大能被 $9$ 整除.
15.如果關于x的多項式$ax^{2}-abx+b與bx^{2}+abx+2a$的和是一個單項式,那么a與b的關系是
$a=-b$ 或 $b=-2a$
.
答案：$a=-b$ 或 $b=-2a$ 解析: $ax^{2}-abx + b + bx^{2}+abx + 2a=(a + b)x^{2}+b + 2a$, 要使該結果是一個單項式, 那么 $a + b = 0$ 或 $b + 2a = 0$, 所以 $a=-b$ 或 $b=-2a$.
解析：
解：$ax^{2}-abx + b + bx^{2}+abx + 2a=(a + b)x^{2}+(b + 2a)$
因為和是單項式，所以：
情況一：$a + b = 0$，即$a=-b$
情況二：$b + 2a = 0$，即$b=-2a$
綜上，$a$與$b$的關系是$a=-b$或$b=-2a$。
16.某市要建一條高速公路,其中的一段經(jīng)公開招標,由某建筑公司中標.在建筑過程中,該公司為了保質保量提前完工,投入了甲、乙、丙三個工程隊同時進行施工,經(jīng)過一段時間后,甲工程隊筑路a km,乙工程隊所筑的路比甲工程隊的$\frac {2}{3}$多18km,丙工程隊所筑的路比甲工程隊的2倍少3km.問甲、乙、丙三個工程隊共筑路多少千米？若該段高速公路長為1200km,當$a= 300$時,完成任務了嗎？
答案：根據(jù)題意得, 乙工程隊所筑的路是 $(\frac{2}{3}a + 18)$ km, 丙工程隊所筑的路是 $(2a - 3)$ km. 甲、乙、丙三個工程隊共筑路 $a+\frac{2}{3}a + 18+2a - 3=(1+\frac{2}{3}+2)a+(18 - 3)=(\frac{11}{3}a + 15)$ km. 當 $a = 300$ 時, $\frac{11}{3}a + 15=\frac{11}{3}×300 + 15 = 1100 + 15 = 1115(km)$. 因為 $1115\lt1200$, 所以當 $a = 300$ 時, 沒有完成任務.
解析：
解：根據(jù)題意，乙工程隊所筑的路是$(\frac{2}{3}a + 18)$km，丙工程隊所筑的路是$(2a - 3)$km。
甲、乙、丙三個工程隊共筑路：
$\begin{aligned}&a + (\frac{2}{3}a + 18) + (2a - 3)\\=&a + \frac{2}{3}a + 2a + 18 - 3\\=&(1 + \frac{2}{3} + 2)a + 15\\=&\frac{11}{3}a + 15\ (km)\end{aligned}$
當$a = 300$時，
$\frac{11}{3}×300 + 15 = 1100 + 15 = 1115(km)$
因為$1115 ＜ 1200$，所以沒有完成任務。
答：甲、乙、丙三個工程隊共筑路$(\frac{11}{3}a + 15)$千米；當$a = 300$時，沒有完成任務。
