8. 若$(m+2)x^{m^{2}}y^{2}$是關(guān)于x,y的六次單項式,則m的值為 (
C
)
A.5
B.$\pm 2$
C.2
D.-2
答案：C 解析：由題意可得$m^{2} = 4$，所以$m = \pm 2$，但當$m = -2$時，$m + 2 = 0$，不滿足題意，故$m = 2$，故選C.
9. 按某種標準把多項式進行分類時,$3x^{3}-4和a^{2}b+ab^{2}+1$屬于同一類,則下列也屬于此類的多項式是 (
A
)
A.$abc-1$
B.$x^{2}-2$
C.$3x^{2}+2xy^{4}$
D.$m^{2}+2mn+n^{2}$
答案：A 解析：$3x^{3} - 4$和$a^{2}b + ab^{2} + 1$的項數(shù)不同，次數(shù)均為3，$abc - 1$次數(shù)與兩者相同，故選A.
10. 新趨勢 開放性試題 請寫出一個只含有字母a的二次多項式,且無論a取何值時該二次多項式的值都大于2025,則這個二次多項式可以為
$a^{2} + 2026$
.
答案：$a^{2} + 2026$（答案不唯一）
11. 若一個整式具備以下三個條件:(1)它是一個關(guān)于字母x的二次三項式;(2)各項系數(shù)的和等于10;(3)它的二次項系數(shù)和常數(shù)項都比-2小1,則滿足這些條件的一個整式為
$-3x^{2} + 16x - 3$
.
答案：$-3x^{2} + 16x - 3$
解析：
解：由條件(3)，二次項系數(shù)為$-2 - 1 = -3$，常數(shù)項為$-2 - 1 = -3$。
設(shè)一次項系數(shù)為$a$，則該整式為$-3x^{2} + ax - 3$。
由條件(2)，各項系數(shù)和為$-3 + a + (-3) = 10$，解得$a = 16$。
所以滿足條件的整式為$-3x^{2} + 16x - 3$。
$-3x^{2} + 16x - 3$
12. (1)(綿陽中考)若多項式$xy^{|m-n|}+(n-2)\cdot x^{2}y^{2}+1$是關(guān)于x,y的三次多項式,則$mn= $
8或0
.
(2)已知多項式$-x^{2}y^{2m+1}+xy-6x^{3}-1$是五次四項式,且單項式$πx^{n}y^{4m-3}$與多項式的次數(shù)相同,則$m= $
1
,$n= $
4
.
答案：(1) 8或0 解析：因為多項式$xy^{|m - n|} + (n - 2)x^{2}y^{2} + 1$是關(guān)于$x$，$y$的三次多項式，所以$n - 2 = 0$，$1 + |m - n| = 3$，所以$n = 2$，$|m - n| = 2$，所以$m - n = 2$或$n - m = 2$，所以$m = 4$或$m = 0$，所以$mn = 8$或0.
(2) 1 4 解析：因為多項式$-x^{2}y^{2m + 1} + xy - 6x^{3} - 1$是五次四項式，所以$2 + 2m + 1 = 5$，解得$m = 1$. 又單項式$\pi x^{n}y^{4m - 3}$與該多項式的次數(shù)相同，所以$n + 4m - 3 = 5$，即$n + 4 - 3 = 5$，解得$n = 4$.
13. 已知關(guān)于x的整式$(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$.
(1)若此整式是單項式,求k的值;
(2)若此整式是二次多項式,求k的值;
(3)若此整式是二項式,求k的值.
答案：(1) $|k| - 3 = 0$，且$k - 3 = 0$時，原式是單項式，得$k = 3$.
(2) $|k| - 3 = 0$，且$k - 3 \neq 0$時，原式是二次多項式，得$k = -3$.
(3) 三項系數(shù)分別為$|k| - 3$，$k - 3$和$-k$，若其中一個系數(shù)為0，另外兩個系數(shù)不為0，則此整式是二項式，當$|k| - 3 = 0$，其他兩個系數(shù)不為0時，得$k = -3$；當$k - 3 = 0$，其他兩個系數(shù)不為0時，沒有滿足題意的值；當$-k = 0$，其他兩個系數(shù)不為0時，得$k = 0$，所以$k = 0$或$-3$.
14. 觀察下列單項式:$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},...,-37x^{19},39x^{20},...$,寫出第n個單項式,為了解這個問題,提供下面的解題思路.
(1)這組單項式的系數(shù)依次為多少? 它們的絕對值的規(guī)律是什么?
(2)這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是什么?
(3)根據(jù)上面的歸納,猜想出第n個單項式,用含n的代數(shù)式表示.
(4)請你根據(jù)猜想,寫出第2024個與第2025個單項式.
答案：(1) 這組單項式的系數(shù)依次為$-1, 3, -5, 7, \cdots$，系數(shù)為奇數(shù)且奇數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，故單項式的系數(shù)的符號可以是$(-1)^{n}$，第n個單項式的系數(shù)的絕對值為$2n - 1$.
(2) 這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù).
(3) 第n個單項式是$(-1)^{n} \cdot (2n - 1)x^{n}$.
(4) 第2024個單項式是$(-1)^{2024} \cdot (2 × 2024 - 1)x^{2024} = 4047x^{2024}$. 第2025個單項式是$(-1)^{2025} \cdot (2 × 2025 - 1)x^{2025} = -4049x^{2025}$.
15. (1)已知有理數(shù)a和b滿足多項式A,且$A= (a-1)x^{5}+x^{|b+2|}-2x^{2}+bx+b(b≠-2)$是關(guān)于x的二次三項式,求$(a-b)^{2}$的值;
(2)已知m,n是自然數(shù),a,b,c均不為0,若$a^{m-3}b^{2}c-\frac {1}{7}a^{2}b^{n-3}c^{4}+\frac {1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$是八次三項式(次數(shù)均為正整數(shù)),求m,n的值.
答案：(1) 有理數(shù)a和b滿足多項式A，且$A = (a - 1)x^{5} + x^{|b + 2|} - 2x^{2} + bx + b(b \neq -2)$是關(guān)于x的二次三項式，當$a - 1 = 0$時，解得$a = 1$. ①當$|b + 2| = 2$時，解得$b = 0$或$-4$，當$b = 0$時，A不是二次三項式，當$b = -4$時，A是關(guān)于x的二次三項式；②當$|b + 2| = 1$時，解得$b = -1$或$b = -3$，當$b = -1$時，A不是二次三項式，當$b = -3$時，A是關(guān)于x的二次三項式；③當$|b + 2| = 0$時，解得$b = -2$（與題意不符，舍去）. 當$a - 1 = -1$且$|b + 2| = 5$，即$a = 0$，$b = 3$或$-7$時，此時A是關(guān)于x的二次三項式. 綜上所述，當$a = 1$，$b = -4$時，$(a - b)^{2} = 25$；當$a = 1$，$b = -3$時，$(a - b)^{2} = 16$；當$a = 0$，$b = 3$時，$(a - b)^{2} = 9$；當$a = 0$，$b = -7$時，$(a - b)^{2} = 49$.
(2) 依題意，可得$a^{m - 3}b^{2}c$的次數(shù)為$m - 3 + 2 + 1 = m$，$-\frac{1}{7}a^{2}b^{n - 3}c^{4}$的次數(shù)為$2 + n - 3 + 4 = n + 3$，$\frac{1}{12}a^{m + 1}b^{n - 1}c$的次數(shù)為$m + 1 + n - 1 + 1 = m + n + 1$. 由題意，得m，n均為大于或等于3的數(shù)，且m，n為自然數(shù)，所以$m + n + 1 ＞ m$，$m + n + 1 ＞ n + 3$. 因為$a^{m - 3}b^{2}c - \frac{1}{7}a^{2}b^{n - 3}c^{4} + \frac{1}{12}a^{m + 1}b^{n - 1}c$是八次三項式，所以$m + n + 1 = 8$，所以$m = 3$，$n = 4$或$m = 4$，$n = 3$.
