13. (2025·濟(jì)南期末)如圖①是1個(gè)直角三角形和2個(gè)正方形,直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別是a,b,c,其中a,b是直角邊.正方形的邊長(zhǎng)分別是a,b.
(1)將4個(gè)完全一樣的直角三角形和2個(gè)正方形組成一個(gè)大正方形(如圖②).用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形的面積:
方法一:
$a^{2} + 2ab + b^{2}$
;方法二:
$(a + b)^{2}$
.
(2)觀察圖②,試寫出$(a+b)^{2},a^{2},2ab,b^{2}$這四個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系:
$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
.
(3)請(qǐng)利用(2)中的等量關(guān)系解決問題:已知圖①中三角形的面積是6,圖②中大正方形的面積是49,求$a^{2}+b^{2}$的值.
由于題圖①中三角形的面積是6，所以$ab = 12$。因?yàn)?a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$，所以$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 49 - 2×12 = 25$。
(4)求$3.14^{2}+6.28×6.86+6.86^{2}$的值.
$3.14^{2} + 6.28×6.86 + 6.86^{2} = 3.14^{2} + 2×3.14×6.86 + 6.86^{2} = (3.14 + 6.86)^{2} = 10^{2} = 100$。
解析：
(1)方法一：$(a+b)^{2}$；方法二：$a^{2}+2ab+b^{2}$
(2)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
(3)解：因?yàn)閳D①中三角形的面積是6，所以$\frac{1}{2}ab=6$，即$ab=12$。
因?yàn)閳D②中大正方形的面積是49，所以$(a+b)^{2}=49$。
由(2)知$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$，所以$a^{2}+b^{2}=49-2×12=25$。
(4)解：$3.14^{2}+6.28×6.86+6.86^{2}=3.14^{2}+2×3.14×6.86+6.86^{2}=(3.14+6.86)^{2}=10^{2}=100$。
