8.(2025·無錫期中)“指間數(shù)”是一個很有趣的游戲,如圖為手的示意圖,在各個手指間標記字母A,B,C,D.請你按圖中箭頭所指方向(即$A\to B\to C\to D\to C\to B\to A\to B\to C…\to $的方式),從標記字母A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,….當數(shù)到正整數(shù)2025時,對應的字母是
C
;當字母C第2025次出現(xiàn)時,恰好數(shù)到的數(shù)是
6075
.
答案：C 6075 解析：觀察 $A→B→C→D→C→B→A→B→C→…$ 可知 $A→B→C→D→C→B$,6 個字母循環(huán)出現(xiàn),因為 $2025÷6 = 337……3$，所以當數(shù)到 2025 時,對應的字母是 C;在每組循環(huán)內(nèi) C 出現(xiàn) 2 次, $2025÷2 = 1012$ (組) $……1$ (次),當字母 C 第 2025 次出現(xiàn)時,C 應在 $A→B→C$ 內(nèi),$1012×6 + 3 = 6075$，所以字母 C 第 2025 次出現(xiàn)時,恰好數(shù)到的數(shù)是 6075。
解析：
解：觀察可得，字母按“$A→B→C→D→C→B$”的順序循環(huán)出現(xiàn)，周期為6。
對于數(shù)到2025時對應的字母：
$2025÷6=337\cdots\cdots3$，其中余數(shù)為3，循環(huán)中的第3個字母是C，所以對應的字母是C。
對于字母C第2025次出現(xiàn)時對應的數(shù)：
每個周期內(nèi)C出現(xiàn)2次，$2025÷2=1012\cdots\cdots1$，即經(jīng)過1012個完整周期后，C第2025次出現(xiàn)是下一個周期中的第1次C，每個周期6個數(shù)，前1012個周期共有$1012×6$個數(shù)，下一個周期中第1次C出現(xiàn)在第3個數(shù)，所以恰好數(shù)到的數(shù)是$1012×6 + 3=6075$。
答案：C；6075
9.用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按下圖方式拼正方形.
第1個圖形中有1張正方形紙片;
第2個圖形中有$1+3= 4$(張)正方形紙片;
第3個圖形中有$1+3+5= 9$(張)正方形紙片;
第4個圖形中有$1+3+5+7= 16$(張)正方形紙片;
……$ $
(1)根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想:第5個圖形中有
25
張正方形紙片(直接寫出結(jié)果).
(2)請根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計算:
①$1+3+5+7+… +99= $
2500
;
②$101+103+105+… +199= $
7500
.
答案：
(1)25
(2)①2500 解析：設所求式子表示的是第 x 個圖形中正方形紙片的張數(shù),則 $2x - 1 = 99$,解得 $x = 50$,所以 $1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 = 502 = 2500$。 ②7500 解析：$101 + 103 + 105 + … + 199 = (100 + 100 + 100 + … + 100) + (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 100×50 + 2500 = 7500$。
解析：
(1)25
(2)①2500
解：設所求式子表示第x個圖形中正方形紙片的張數(shù)，
則2x-1=99，解得x=50，
所以1+3+5+7+…+99=502=2500。
②7500
解：101+103+105+…+199
=(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+99)
設1+3+5+…+199為第y個圖形，2y-1=199，解得y=100，其和為1002=10000，
所以原式=10000-2500=7500。
10.下面是一種利用圖形計算正整數(shù)乘法的方法,根據(jù)圖①~圖④四個圖形表示的規(guī)律,可知圖⑤所表示的算式為
$21×13 = 273$
,圖⑥所表示的算式為
$321×123 = 39483$
.
答案：$21×13 = 273$ $321×123 = 39483$ 解析：由已知圖形,可知直線的數(shù)量和位置與兩個乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)有一定關系,從左上角至右下角各組直線的條數(shù)依次為第一個乘數(shù)由高到低各位上的數(shù)字,從左下角至右上角各組直線的條數(shù)依次為第二個乘數(shù)由高到低各位上的數(shù)字.從左向右的各區(qū)域內(nèi)交點個數(shù)的和是積從高到低每一位上的數(shù)字.根據(jù)以上規(guī)律,題圖⑤中算式可寫為 $21×13 = 273$,題圖⑥中算式可先寫為 $321×123 = 38(14)83$,其中 14 大于 10,向前一位進 1,故前一位上加 1,即 $321×123 = 3(8 + 1)483$,算式為 $321×123 = 39483$。
解析：
圖⑤所表示的算式為$21×13 = 273$，圖⑥所表示的算式為$321×123 = 39483$。
11.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù):1,1,2,3,5,8,13,…,其中從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和,現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構造正方形,再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個正方形拼成如下長方形并記為①,②,③,④,相應長方形的周長如下表:
|序號|①|(zhì)②|③|④|
|周長|6|10|$x$|$y$|
(1)仔細觀察圖形,上表中的$x=$
16
,$y=$
26
.
(2)若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形,則序號為?的長方形周長是
754
.
答案：
(1)16 26
(2)754 解析：結(jié)合圖形分析表格中圖形的周長,第 1 個長方形的周長為 $(1 + 2)×2 = 6$；第 2 個長方形的周長為 $(2 + 3)×2 = 10$；第 3 個長方形的周長為 $(3 + 5)×2 = 16$；第 4 個長方形的周長為 $(5 + 8)×2 = 26$；第 5 個長方形的周長為 $(8 + 13)×2 = 42$；第 6 個長方形的周長為 $(13 + 21)×2 = 68$；第 7 個長方形的周長為 $(21 + 34)×2 = 110$；第 8 個長方形的周長為 $(34 + 55)×2 = 178$；第 9 個長方形的周長為 $(55 + 89)×2 = 288$；第 10 個長方形的周長為 $(89 + 144)×2 = 466$；所以第 11 個長方形的周長為 $(144 + 233)×2 = 754$。
解析：
(1)觀察圖形可知，斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,…
第③個長方形由4個正方形拼成，邊長為3和5，周長為$(3 + 5)×2 = 16$，故$x = 16$；
第④個長方形由5個正方形拼成，邊長為5和8，周長為$(5 + 8)×2 = 26$，故$y = 26$。
(2)按規(guī)律依次計算：
第⑤個長方形邊長8和13，周長$(8 + 13)×2 = 42$；
第⑥個邊長13和21，周長$(13 + 21)×2 = 68$；
第⑦個邊長21和34，周長$(21 + 34)×2 = 110$；
第⑧個邊長34和55，周長$(34 + 55)×2 = 178$；
第⑨個邊長55和89，周長$(55 + 89)×2 = 288$；
第⑩個邊長89和144，周長$(89 + 144)×2 = 466$；
第?個邊長144和233，周長$(144 + 233)×2 = 754$。
(1)16 26
(2)754
