1.(2025·徐州期中)下列圖形都是由幾個灰色和白色的正方形按一定規(guī)律組成的,圖①中有1個白色正方形,圖②中有4個白色正方形,圖③中有7個白色正方形,圖④中有10個白色正方形……按此規(guī)律,圖⑦中白色正方形的個數(shù)是(
C
)
A.23
B.20
C.19
D.17
答案：C
解析：
觀察圖形可知，圖①中白色正方形個數(shù)為1，圖②為4，圖③為7，圖④為10，相鄰兩圖白色正方形個數(shù)相差3，即規(guī)律為：第n個圖中白色正方形個數(shù)為$1 + 3(n - 1) = 3n - 2$。
當$n = 7$時，$3×7 - 2 = 19$。
答案：C
2.新趨勢 跨學科融合 如圖,一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面滾下,其在斜面上經(jīng)過的路程隨時間變化規(guī)律如下表:|時間$t/s$|0|1|2|3|4|…$$|路程$s/m$|0|2|8|18|32|…$$|則小球從靜止開始滾動10s,其經(jīng)過的路程是(
D
)
A.40m
B.80m
C.160m
D.200m
答案：D
解析：
觀察表格數(shù)據(jù)：
當$t=1$時，$s=2=2×1^{2}$；
當$t=2$時，$s=8=2×2^{2}$；
當$t=3$時，$s=18=2×3^{2}$；
當$t=4$時，$s=32=2×4^{2}$。
可得路程$s$與時間$t$的關(guān)系為$s = 2t^{2}$。
當$t = 10$時，$s=2×10^{2}=2×100 = 200$。
答案：D
3.(2024·哈爾濱校級模擬)小王利用計算機設計了一個計算程序,輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表:
|輸入|…$$|1|2|3|4|5|…$$|
|輸出|…$$|$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{5}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{4}{17}$|$\frac{5}{26}$|…$$|
當輸入數(shù)據(jù)為8時,輸出的數(shù)據(jù)為
$\frac{8}{65}$
.
答案：$\frac{8}{65}$
解析：
觀察輸入與輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系：
當輸入為1時，輸出為$\frac{1}{2}=\frac{1}{1^2 + 1}$；
當輸入為2時，輸出為$\frac{2}{5}=\frac{2}{2^2 + 1}$；
當輸入為3時，輸出為$\frac{3}{10}=\frac{3}{3^2 + 1}$；
當輸入為4時，輸出為$\frac{4}{17}=\frac{4}{4^2 + 1}$；
當輸入為5時，輸出為$\frac{5}{26}=\frac{5}{5^2 + 1}$。
可得出規(guī)律：輸入數(shù)據(jù)為$n$時，輸出數(shù)據(jù)為$\frac{n}{n^2 + 1}$。
當輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出數(shù)據(jù)為$\frac{8}{8^2 + 1}=\frac{8}{65}$。
$\frac{8}{65}$
4.(自貢中考改編)填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律,根據(jù)這種規(guī)律,$m$的值為
184
.
答案：184 解析：由前三個正方形中的四個數(shù)之間的關(guān)系可得最后一個正方形中的數(shù)分別為 11,13,15,m,因為 $3×5 - 1 = 14$；$5×7 - 3 = 32$；$7×9 - 5 = 58$，所以 $m = 13×15 - 11 = 184$。
解析：
觀察前三個正方形中的數(shù)字規(guī)律：
左上角數(shù)字依次為1，3，5，均為奇數(shù)，且后一個比前一個大2，故最后一個正方形左上角為11時，右上角數(shù)字為11+2=13，左下角數(shù)字為13+2=15。
計算規(guī)律：$3×5 - 1 = 14$；$5×7 - 3 = 32$；$7×9 - 5 = 58$，即右上角數(shù)字×左下角數(shù)字 - 左上角數(shù)字 = 右下角數(shù)字。
因此，$m = 13×15 - 11 = 184$。
184
5.如圖所示,一張紙片,小明第一次將其撕成四小片,手中共有4張紙片,以后每次都將其中一片撕成更小的四片……如此進行下去.
根據(jù)上述情況:
(1)當小明撕了4次后,共有
13
張紙片.
(2)當小明撕到第幾次時,他手中共有76張紙片?
因為 $(76 - 1)÷3 = 25$ (次),所以當小明撕到第25次時,他手中共有76張紙片。
(3)小明說:“我撕了若干次后,手中的紙片有2025張.”小明說得對不對?若不對,請說出你的理由;若對,請求出小明撕了多少次.
不對.理由:因為 $(2025 - 1)÷3 = \frac{2024}{3}$，$\frac{2024}{3}$ 不是整數(shù)，所以小明說得不對。
答案：(1)13 解析：從題圖中可以看出,當小明撕了 1 次時,手中有 $3×1 + 1 = 4$ (張) 紙片；當小明撕了 2 次時,手中有 $3×2 + 1 = 7$ (張) 紙片；當小明撕了 3 次時,手中有 $3×3 + 1 = 10$ (張) 紙片；當小明撕了 4 次時,手中有 $3×4 + 1 = 13$ (張) 紙片。 (2)因為 $(76 - 1)÷3 = 25$ (次),所以當小明撕到第 25 次時,他手中共有 76 張紙片。 (3)不對.理由:因為 $(2025 - 1)÷3 = \frac{2024}{3}$，$\frac{2024}{3}$ 不是整數(shù)，所以小明說得不對。
解析：
(1)13
(2)解：設撕了$n$次后有76張紙片，由規(guī)律得$3n + 1 = 76$，解得$n = (76 - 1)÷3 = 25$。答：第25次。
(3)解：假設對，設撕了$m$次，$3m + 1 = 2025$，$m=(2025 - 1)÷3 = 2024÷3$，結(jié)果不是整數(shù)。答：不對。
6.(2025·淄博期末)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10,…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的是(
C
)
A.$13= 3+10$
B.$25= 9+16$
C.$36= 15+21$
D.$49= 18+31$
答案：C 解析：A.在 $13 = 3 + 10$ 中,13 不是“正方形數(shù)”，所以不符合題意；B.在 $25 = 9 + 16$ 中,9,16 不是“三角形數(shù)”，所以不符合題意；C.因為 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$，$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$，所以 15,21 是兩個相鄰的“三角形數(shù)”。又因為 36 為“正方形數(shù)”，所以該選項符合題意；D.在 $49 = 18 + 31$ 中,18,31 不是“三角形數(shù)”，所以不符合題意.故選 C。
7.新趨勢 數(shù)學文化 (2023·四川中考改編)在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律,因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”,根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個數(shù)為(
C
)
A.7
B.16
C.21
D.35
答案：C 解析：根據(jù)規(guī)律可得第七行的數(shù)為 1,6,15,20,15,6,1,第八行的數(shù)為 1,7,21,35,35,21,7,1,所以根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個數(shù)為 21.故選 C。
