【問題情境】
“數(shù)學”的應用包羅萬象,在一些看似完全不同的領域中也可能蘊含著“數(shù)學”的知識。比如在紡織領域,可以利用數(shù)字進行圖案設計,不同的數(shù)字與不同的排列方式都能組成不同的圖景。
【教材呈現(xiàn)】
(1)①已知$\frac {1}{7}= 0.\dot {1}4285\dot {7}$,如圖①,將$0.\dot {1}4285\dot {7}$按逆時針方向由內(nèi)向外螺旋排列填入對應的方格內(nèi),請在空白方格內(nèi)補全對應數(shù)字。
②在進行圖案設計時,不同的顏色可以表示不同的數(shù)字,如圖②,該圖案是利用某個小數(shù)的數(shù)字順序設計的,則這個小數(shù)可能是( )
A. $1.\dot {1}4285\dot {7}$
B. $0.0\dot {1}8\dot {5}$
C. $0.\dot {2}1\dot {9}$
D. $π$
【類比探究】
(2)①斐波那契數(shù)列是指這樣一個數(shù)列：$1,1,2,3,5,8,13,21,34… …$這個數(shù)列從第3項開始,每一項都等于前兩項之和。如圖③,共有36個小方格,請設計兩種不同的圖案,使其填入小方格后分別表示奇數(shù)和偶數(shù)。之后依照斐波那契數(shù)列各項的順序,自行選擇一種排列方式填入圖③中。(方格需填滿)
②帕多瓦數(shù)列與斐波那契數(shù)列較為相似,其是指這樣一個數(shù)列：$1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12… …$這個數(shù)列從第4項開始,每一項都等于前面第2項與前面第3項的和,如第5項等于第3項與第2項的和。使用上一小問設計的圖案與排列方式,則第4行第3列的小方格中的圖案是什么？請說明理由。
【拓展創(chuàng)新】
(3)盧卡斯數(shù)列由(2)中的斐波那契數(shù)列變形而得,不同的是其第1項和第2項分別是1和3,從第3項開始,每一項都等于前兩項之和。通過計算發(fā)現(xiàn),盧卡斯數(shù)列各項的末位數(shù)字具有規(guī)律性。
①盧卡斯數(shù)列中第100項的末位數(shù)字為____。
②隨機迷宮的構(gòu)建：如圖④,用小方格中的不同圖案表示不同的數(shù)字,小方格內(nèi)的實線表示“道路”(不含小方格的邊)。盧卡斯數(shù)列的每一項可用其末位數(shù)字對應的圖案代表,請將盧卡斯數(shù)列排列在圖⑤中構(gòu)成一個可行的“迷宮”,使該“迷宮”的起點和終點分別位于大正方形的一組對邊上,且起點和終點之間有可通行“道路”。
答案：(1)①補全數(shù)字如圖①所示:
②B解析:由題圖②可得，圖中有4色方格，顏色最深的黑色只有兩塊且連在一起，可得設計順序如圖②所示，是由外向內(nèi)的螺旋排列，該小數(shù)可能是0.0185,故選B.
(2)①如圖③,答案不唯一,合理即可.
理由如下:觀察該斐波那契數(shù)列可得，從第一項開始，各項以“奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)”的順序不斷循環(huán).之后設計小方格中一個正方形圖案表示奇數(shù)，一個圓形圖案表示偶數(shù)，按照蛇形排列從左上角開始填入方格即可.
②正方形.理由:帕多瓦數(shù)列從第1項開始分別為“奇數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……”7個為一組循環(huán),則按照①中選擇的排列方式第4行第3列的小方格是第22項,則為奇數(shù),圖案為正方形.
(3)①7 解析:計算可得盧卡斯數(shù)列各項的末位數(shù)字依次為1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2……12項為一組循環(huán),100÷12=8……4,則盧卡斯數(shù)列中第100項的末位數(shù)字為7.
②按照從左上角開始向下的蛇形排列填入圖④中,此時可構(gòu)成可行的“迷宮”,入口可位于第1行第1列左側(cè),出口可位于第3行第5列右側(cè).(答案不唯一,合理即可)
