1. (2024·無錫期末)定義一種新運算:$a\oplus b= 2a+b,a※b= a^{2}b$,則方程$(x+1)\oplus 2= (3※x)-2$的解是 (
C
)
A.$x= \frac {5}{2}$
B.$x= -1$
C.$x= \frac {6}{7}$
D.$x= 2$
答案：1. C 解析:因為 $ a \oplus b = 2a + b $，$ a ※ b = a ^ { 2 } b $，$ ( x + 1 ) \oplus 2 = ( 3 ※ x ) - 2 $，所以 $ 2 ( x + 1 ) + 2 = 3 ^ { 2 } \cdot x - 2 $，整理得 $ 7 x = 6 $，解得 $ x = \frac { 6 } { 7 } $。故選 C。
2. 新考法(2024·無錫期末)圖①中每相鄰兩條線間,有從上至下的幾條橫線(即“橋”),這樣就構成了“天梯”.運算符號“+,-,×,÷”在“天梯”的豎線與橫線上運動,它們在運動的過程中按自上而下,且逢“橋”必過的規(guī)則進行,最后運動到豎線下方的“○”中,將a,b,c,d,e連接起來,構成一個算式.如:“+”號根據(jù)規(guī)則就應該沿圖中箭頭方向運動,最后向下進入“○”中,其余3個運算符號分別按規(guī)則運動到“○”中后,就得到算式$a÷b×c-d+e$.根據(jù)如圖②所示的“天梯”計算當$a= -6,b= -1.5^{2},c= -2,d= \frac {3}{4},e= -\frac {2}{3}$時所寫算式的結果為 ( )
A.$\frac {31}{2}$
B.$-\frac {23}{2}$
C.$\frac {23}{2}$
D.$-\frac {31}{2}$
答案：2. A 解析:由題意確定各符號的位置，
此時的算式為 $ a × b - c ÷ d + e $，當 $ a = - 6 $，$ b = - 1.5 ^ { 2 } $，$ c = - 2 $，$ d = \frac { 3 } { 4 } $，$ e = - \frac { 2 } { 3 } $時，$ a × b - c ÷ d + e = ( - 6 ) × ( - 1.5 ^ { 2 } ) - ( - 2 ) ÷ \frac { 3 } { 4 } - \frac { 2 } { 3 } = ( - 6 ) × \left( - \frac { 9 } { 4 } \right) + \frac { 8 } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } = \frac { 27 } { 2 } + 2 = \frac { 31 } { 2 } $。故選 A。
3. (2025·揚州期末)對于任意四個有理數(shù)a,b,c,d.規(guī)定:$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} = ad-bc$.如:$\begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4\end{vmatrix} = 1×4-2×3= -2$.
根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題:
(1)求$\begin{vmatrix} 5&-4\\ 3&2\end{vmatrix} $的值;
(2)若$\begin{vmatrix} -3&\frac {1}{2}x+1\\ 2&2x-1\end{vmatrix} = 15$,求x;
(3)若$\begin{vmatrix} k&x+1\\ 2&3x-1\end{vmatrix} $的值與x的取值無關,求k的值.
答案：3. (1) 因為 $ \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right| = a d - b c $，所以 $ \left| \begin{array} { c c } { 5 } & { - 4 } \\ { 3 } & { 2 } \end{array} \right| = 5 × 2 - ( - 4 ) × 3 = 10 + 12 = 22 $。
(2) 因為 $ \left| \begin{array} { c c } { - 3 } & { \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 } & { 2 x - 1 } \end{array} \right| = 15 $，所以 $ - 3 × ( 2 x - 1 ) - 2 × \left( \frac { 1 } { 2 } x + 1 \right) = 15 $，$ - 6 x + 3 - x - 2 = 15 $，$ - 6 x - x = 15 - 3 + 2 $，$ - 7 x = 14 $，解得 $ x = - 2 $。
(3) $ \left| \begin{array} { c c } { k } & { x + 1 } \\ { 2 } & { 3 x - 1 } \end{array} \right| = k ( 3 x - 1 ) - 2 ( x + 1 ) = 3 k x - k - 2 x - 2 = ( 3 k - 2 ) x - k - 2 $。因為 $ \left| \begin{array} { c c } { k } & { x + 1 } \\ { 2 } & { 3 x - 1 } \end{array} \right| $的值與 $ x $的取值無關，所以 $ 3 k - 2 = 0 $，所以 $ k = \frac { 2 } { 3 } $。
4. (2025·宿遷期末)定義:關于x的方程$ax-b= 0與bx-a= 0$(a,b均為不等于0的常數(shù))稱互為“反對方程”.
例如:方程$2x-1= 0與x-2= 0$互為“反對方程”;方程$3x-2= 2x+3$,通過轉化可得$x-5= 0$,所以$3x-2= 2x+3與5x-1= 0$互為“反對方程”.
(1)若關于x的方程$3x-2= 0與2x-a= 0$(a為不等于0的常數(shù))互為“反對方程”,則$a= $
3
;
(2)若關于x的方程$5x-b= 2$(b為不等于0的常數(shù))的解為$x= 3$,求b的值及它的“反對方程”的解;
因為關于x的方程5x - b = 2的解為x = 3，所以5×3 - b = 2，解得b = 13。原方程可轉化為5x - 15 = 0，其“反對方程”為15x - 5 = 0，解15x - 5 = 0得x = 1/3。
(3)若關于x的方程$\frac {1}{2025}x-c= -x+5$(c為不等于0的常數(shù))的解為$x= 2025$,請直接寫出$(c+5)x-\frac {1}{2025}= 1$的解.
x = 1/2025
答案：4. (1) 3 解析:由題可知 $ a x - b = 0 $與 $ b x - a = 0 $（$ a $，$ b $均為不等于 0 的常數(shù)）稱互為“反對方程”，因為 $ 3 x - 2 = 0 $與方程 $ 2 x - a = 0 $互為“反對方程”，所以 $ a = 3 $。
(2) 因為關于 $ x $的方程 $ 5 x - b = 2 $（$ b $為不等于 0 的常數(shù)）的解為 $ x = 3 $，所以 $ 5 × 3 - b = 2 $，所以 $ b = 13 $，所以 $ 5 x - 13 = 2 $，所以 $ 5 x - 15 = 0 $，所以關于 $ x $的方程 $ 5 x - 15 = 0 $的“反對方程”為 $ 15 x - 5 = 0 $，所以 $ x = \frac { 1 } { 3 } $。
(3) $ x = \frac { 1 } { 2025 } $ 解析:因為關于 $ x $的方程 $ a x - b = 0 $的解為 $ x = \frac { b } { a } $，關于 $ x $的方程 $ b x - a = 0 $的解為 $ x = \frac { a } { b } $，且關于 $ x $的方程 $ a x - b = 0 $與 $ b x - a = 0 $（$ a $，$ b $均為不等于 0 的常數(shù)）稱互為“反對方程”，所以互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)。因為方程 $ \frac { 1 } { 2025 } x - c = - x + 5 $，$ \frac { 1 } { 2025 } x + x - c - 5 = 0 $，所以 $ \left( \frac { 1 } { 2025 } + 1 \right) x - ( c + 5 ) = 0 $。因為方程 $ ( c + 5 ) x - \frac { 1 } { 2025 } = 1 $，所以 $ ( c + 5 ) x - \left( \frac { 1 } { 2025 } + 1 \right) = 0 $，所以方程 $ \frac { 1 } { 2025 } x - c = - x + 5 $和方程 $ ( c + 5 ) x - \frac { 1 } { 2025 } = 1 $互為“反對方程”。因為關于 $ x $的方程 $ \frac { 1 } { 2025 } x - c = - x + 5 $（$ c $為不等于 0 的常數(shù)）的解為 $ x = 2025 $，所以 $ ( c + 5 ) x - \frac { 1 } { 2025 } = 1 $的解為 $ x = \frac { 1 } { 2025 } $。
