4. (2024·南京期末)如圖①,射線AB上有一點(diǎn)C,$AC= 12$,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒m個(gè)單位的速度沿射線CB的方向運(yùn)動(dòng),同時(shí),射線CB開始繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?30^{\circ }$的速度旋轉(zhuǎn)一周.
(1)當(dāng)CB第一次轉(zhuǎn)至與AC垂直時(shí),$PC= $____;(用含m的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)A,P,C三點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)時(shí),求m的值;
(3)如圖②,當(dāng)射線CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到$CB⊥AC$時(shí),點(diǎn)P到達(dá)射線CB上的點(diǎn)D處.此時(shí),射線DB開始繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?45^{\circ }$的速度一同旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一周停止運(yùn)動(dòng),再經(jīng)過(guò)____s,AC與DB所在直線垂直.
答案：4. (1) $3m$ 解析: 由題意知, 當(dāng) $CB$ 第一次轉(zhuǎn)至與 $AC$ 垂直, 即旋轉(zhuǎn)角為 $90^{\circ}$, 所以時(shí)間為 $\frac{90^{\circ}}{30^{\circ}} = 3(\mathrm{~s})$, 所以 $PC = 3m$.
(2) 由題意知, 當(dāng) $CB$ 繞點(diǎn) $C$ 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) $180^{\circ}$ 時(shí), 時(shí)間為 $\frac{180^{\circ}}{30^{\circ}} = 6(\mathrm{~s})$, 當(dāng) $A, P, C$ 三點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)時(shí),
① 當(dāng) $P$ 為 $AC$ 的中點(diǎn)時(shí), $PC = \frac{1}{2}AC$, 即 $6m = \frac{1}{2} × 12 = 6$, 解得 $m = 1$;
② 當(dāng) $A$ 為 $PC$ 的中點(diǎn)時(shí), $PC = 2AC$, 即 $6m = 2 × 12 = 24$, 解得 $m = 4$; 當(dāng) $CB$ 繞點(diǎn) $C$ 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) $360^{\circ}$ 時(shí), 時(shí)間為 $\frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12(\mathrm{~s})$, 當(dāng) $C$ 為 $AP$ 的中點(diǎn)時(shí), $PC = AC$, 即 $12m = 12$, 解得 $m = 1$.
綜上, $m$ 的值為 1 或 4.
(3) $\frac{12}{5}$ 或 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{36}{5}$ 解析: 設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間為 $t \mathrm{~s}$, $CD$ 在射線 $CF$ 上, $CE$ 垂直于 $AC$, 由題意知, 分三種情況求解:
情況一: 如圖①,
此時(shí) $\angle DCE = 30t^{\circ}$, $\angle BDF = 45t^{\circ}$, 所以 $\angle ACD = 90^{\circ} - 30t^{\circ}$, $\angle BDC = 180^{\circ} - 45t^{\circ}$. 因?yàn)?$AC$ 與 $DB$ 所在直線垂直, 所以 $\angle BDC + \angle ACD = 90^{\circ}$, 即 $180^{\circ} - 45t^{\circ} + 90^{\circ} - 30t^{\circ} = 90^{\circ}$, 解得 $t = \frac{12}{5}$;
情況二: 如圖②,
此時(shí) $\angle DCE = 30t^{\circ}$, $\angle BDC = 45t^{\circ} - 180^{\circ}$, 所以 $\angle ACD = 30t^{\circ} - 90^{\circ}$. 因?yàn)?$AC$ 與 $DB$ 所在直線垂直, 所以 $\angle BDC + \angle ACD = 90^{\circ}$, 即 $45t^{\circ} - 180^{\circ} + 30t^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$, 解得 $t = \frac{24}{5}$;
情況三: 如圖③, 射線 $DB$ 的延長(zhǎng)線交直線 $AC$ 于點(diǎn) $H$,
此時(shí) $\angle DCE = 360^{\circ} - 30t^{\circ}$, $\angle BDC = 45t^{\circ} - 180^{\circ}$, 所以 $\angle DCH = 270^{\circ} - 30t^{\circ}$, $\angle CDH = 360^{\circ} - 45t^{\circ}$. 因?yàn)?$AC$ 與 $DB$ 所在直線垂直, 所以 $\angle CDH + \angle DCH = 90^{\circ}$, 即 $360^{\circ} - 45t^{\circ} + 270^{\circ} - 30t^{\circ} = 90^{\circ}$, 解得 $t = \frac{36}{5}$.
綜上所述, 再經(jīng)過(guò) $\frac{12}{5} \mathrm{~s}$ 或 $\frac{24}{5} \mathrm{~s}$ 或 $\frac{36}{5} \mathrm{~s}$, $AC$ 與 $DB$ 所在直線垂直, 故答案為 $\frac{12}{5}$ 或 $\frac{24}{5}$ 或 $\frac{36}{5}$.
