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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 經(jīng)綸學(xué)典學(xué)霸 › 2025年學(xué)霸題中題七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊蘇科版 第179頁解析答案
1. (2025·泰州期末)如圖①,在同一條直線上依次有A,O,B三點(diǎn),$∠BOC= 40^{\circ }$,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,其中$∠DOE= 90^{\circ },∠EDO= 60^{\circ }.$
(1)將三角板DOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,OD在$∠BOC$的內(nèi)部,$∠EOC,∠BOD$有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出來,并說明理由.
(2)若將三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng),直角三角板DOE所有部分始終保持在直線AB上或上方.若$∠COD= \frac {1}{5}∠AOE$,求$∠BOD$的度數(shù).
(3)若將圖①中的三角板繞點(diǎn)O以每秒$5^{\circ }$的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,射線OE,OC,OB中的一條射線,是否可以成為另兩條射線組成的夾角的平分線?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.

答案：
1. (1) $\angle EOC - \angle BOD = 50^{\circ}$. 理由如下: 設(shè) $\angle BOD = n^{\circ}$, 因?yàn)?$\angle BOC = 40^{\circ}$, 所以 $\angle COD = 40^{\circ} - n^{\circ}$. 因?yàn)?$\angle DOE = 90^{\circ}$, 所以 $\angle COE = \angle DOE - \angle DOC = 90^{\circ} - 40^{\circ} + n^{\circ} = 50^{\circ} + n^{\circ}$, 所以 $\angle EOC - \angle BOD = 50^{\circ} + n^{\circ} - n^{\circ} = 50^{\circ}$.
(2) 如圖①, 當(dāng) $OD$ 在 $OC$ 的右邊時(shí), 設(shè) $\angle BOD = n^{\circ}$, 因?yàn)?$\angle BOC = 40^{\circ}$, 所以 $\angle COD = 40^{\circ} - n^{\circ}$, $\angle AOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - n^{\circ} = 90^{\circ} - n^{\circ}$. 因?yàn)?$\angle COD = \frac{1}{5}\angle AOE$, 所以 $40 - n = \frac{1}{5}(90 - n)$, 解得 $n = 27.5$, 即 $\angle BOD = 27.5^{\circ}$.
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如圖②, 當(dāng) $OD$ 在 $OC$ 的左邊時(shí), 則 $\angle COD = n^{\circ} - 40^{\circ}$, $\angle AOE = 90^{\circ} - n^{\circ}$, 因?yàn)?$\angle COD = \frac{1}{5}\angle AOE$, 所以 $n - 40 = \frac{1}{5}(90 - n)$, 解得 $n = \frac{145}{3}$, 即 $\angle BOD = (\frac{145}{3})^{\circ}$. 綜上, $\angle BOD = 27.5^{\circ}$ 或 $(\frac{145}{3})^{\circ}$.
(3) 存在, $t$ 的值為 2 或 14 或 26. 解析: 如圖③, 當(dāng) $OC$ 平分 $\angle BOE$ 時(shí), 則 $\angle COE = \angle COB$, 因?yàn)?$\angle EOE' = \angle DOD' = 5t^{\circ}$, 所以 $\angle COE = \angle BOE' - \angle BOC - \angle EOE' = 50^{\circ} - 5t^{\circ}$, 所以 $50 - 5t = 40$, 解得 $t = 2$;
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如圖④, 當(dāng) $OE$ 平分 $\angle BOC$ 時(shí), 則 $\angle COE = \angle EOB = \frac{1}{2}\angle BOC = 20^{\circ}$, 同理可得 $\angle BOE = 90^{\circ} - 5t^{\circ}$, 所以 $90 - 5t = 20$, 解得 $t = 14$;
如圖⑤, 當(dāng) $OB$ 平分 $\angle EOC$ 時(shí), 則 $\angle COB = \angle EOB = 40^{\circ}$, 同理可得 $\angle BOE = 5t^{\circ} - 90^{\circ}$, 所以 $5t - 90 = 40$, 解得 $t = 26$.
綜上: 當(dāng) $t$ 的值為 2 或 14 或 26 時(shí), 射線 $OE, OC, OB$ 中的一條射線, 可以成為另兩條射線組成的夾角的平分線.
　　　　　　　　　
2. 新考法 (2024·鎮(zhèn)江期末)游樂園的摩天輪深受學(xué)生們的喜愛,如圖是某游樂園的摩天輪的平面示意圖,16個(gè)座艙均勻分布在圓形轉(zhuǎn)輪邊緣,摩天輪以固定的速度繞中心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)一周需要30min.座艙與圓形轉(zhuǎn)輪邊緣的連接點(diǎn)按順時(shí)針依次標(biāo)注為$M_{i}(i= 1,2... ... 16),△AOB$表示的是摩天輪的支架,且$∠AOB= 60^{\circ }.$

(1)摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)____$^{\circ },∠M_{1}OM_{3}= $____$^{\circ }.$
(2)如圖,在某一時(shí)刻,連接點(diǎn)$M_{1}轉(zhuǎn)動(dòng)到∠AOB$的內(nèi)部,此時(shí)$∠AOM_{1}= 18^{\circ }$,以此時(shí)刻為初始時(shí)刻.
①求此時(shí)的$∠BOM_{3}$的度數(shù).
②求當(dāng)$OM_{3}$第一次平分$∠AOB$時(shí),摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間以及此時(shí)$∠AOM_{1}$的度數(shù).
③設(shè)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為$t(min)$,在連接點(diǎn)$M_{1}$第一次到達(dá)最高處前,是否存在$∠BOM_{3}= 2∠AOM_{1}$的時(shí)刻?若存在,求出t的值,若不存在,請說明理由.
[答案]：2. (1)
12
45
解析: 摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是 $360^{\circ} ÷ 30 = 12^{\circ}$, $\angle M_{1}OM_{3} = \frac{2}{16} × 360^{\circ} = 45^{\circ}$.
(2) ① 因?yàn)?$\angle AOB = 60^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = 18^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{1} = \angle AOB - \angle AOM_{1} = 60^{\circ} - 18^{\circ} = 42^{\circ}$. 又因?yàn)?$\angle M_{1}OM_{3} = 45^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{3} = \angle M_{1}OM_{3} - \angle BOM_{1} = 45^{\circ} - 42^{\circ} = 3^{\circ}$.
② 作 $\angle AOB$ 的平分線 $OC$ 交 $AB$ 于點(diǎn) $C$, 則 $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$, $OM_{3}$ 第一次平分 $\angle AOB$ 時(shí), $OM_{3}$ 轉(zhuǎn)動(dòng)了 $30^{\circ} + 3^{\circ} = 33^{\circ}$, 所以轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為 $\frac{33}{12} = \frac{11}{4}(\mathrm{~min})$, $OM_{1}$ 轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也是 $33^{\circ}$, 所以此時(shí) $\angle AOM_{1} = 33^{\circ} - 18^{\circ} = 15^{\circ}$.
③ 存在, $t$ 的值為
$\frac{11}{4}$
或
$\frac{13}{12}$
. 理由如下:
因?yàn)?$OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分線, 所以 $\angle AOC = \angle BOC = 30^{\circ}$. 初始時(shí)刻, $\angle COM_{1} = \angle AOC - \angle AOM_{1} = 30^{\circ} - 18^{\circ} = 12^{\circ}$, 當(dāng)點(diǎn) $M_{1}$ 第一次到達(dá)最高處時(shí), 時(shí)間為 $\frac{180 - 12}{12} = 14(\mathrm{~min})$, 所以 $0 ＜ t ＜ 14$ 或 $t = 0$ 或 $t = 14$. 根據(jù)題意得 $\angle BOM_{3} = |3 - \angle BOM_{3} = |3 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, 因?yàn)?$\angle BOM_{3} = 2 \angle AOM_{1}$, 即 $|3 - 12t| = 2|18 - 12t|$, 解得 $t = \frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, $t$ 的值為 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
易錯(cuò)提醒
① 注意射線旋轉(zhuǎn)的起始位置, 并留意旋轉(zhuǎn)的方向和速度; ② 注意運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有沒有范圍限制, 先明確運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍, 當(dāng)超出范圍時(shí)要舍去答案; ③ 注意分類討論, 找出所有的可能; ④ 當(dāng)表示的角度不能確定時(shí)考慮使用絕對值, 再利用絕對值進(jìn)行分類計(jì)算.
答案：2. (1) 12 45 解析: 摩天輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是 $360^{\circ} ÷ 30 = 12^{\circ}$, $\angle M_{1}OM_{3} = \frac{2}{16} × 360^{\circ} = 45^{\circ}$.
(2) ① 因?yàn)?$\angle AOB = 60^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = 18^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{1} = \angle AOB - \angle AOM_{1} = 60^{\circ} - 18^{\circ} = 42^{\circ}$. 又因?yàn)?$\angle M_{1}OM_{3} = 45^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{3} = \angle M_{1}OM_{3} - \angle BOM_{1} = 45^{\circ} - 42^{\circ} = 3^{\circ}$.
② 作 $\angle AOB$ 的平分線 $OC$ 交 $AB$ 于點(diǎn) $C$, 則 $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$, $OM_{3}$ 第一次平分 $\angle AOB$ 時(shí), $OM_{3}$ 轉(zhuǎn)動(dòng)了 $30^{\circ} + 3^{\circ} = 33^{\circ}$, 所以轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為 $\frac{33}{12} = \frac{11}{4}(\mathrm{~min})$, $OM_{1}$ 轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也是 $33^{\circ}$, 所以此時(shí) $\angle AOM_{1} = 33^{\circ} - 18^{\circ} = 15^{\circ}$.
③ 存在, $t$ 的值為 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$. 理由如下:
因?yàn)?$OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分線, 所以 $\angle AOC = \angle BOC = 30^{\circ}$. 初始時(shí)刻, $\angle COM_{1} = \angle AOC - \angle AOM_{1} = 30^{\circ} - 18^{\circ} = 12^{\circ}$, 當(dāng)點(diǎn) $M_{1}$ 第一次到達(dá)最高處時(shí), 時(shí)間為 $\frac{180 - 12}{12} = 14(\mathrm{~min})$, 所以 $0 ＜ t ＜ 14$ 或 $t = 0$ 或 $t = 14$. 根據(jù)題意得 $\angle BOM_{3} = |3 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, 因?yàn)?$\angle BOM_{3} = 2 \angle AOM_{1}$, 即 $|3 - 12t| = 2|18 - 12t|$, 解得 $t = \frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, $t$ 的值為 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
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① 注意射線旋轉(zhuǎn)的起始位置, 并留意旋轉(zhuǎn)的方向和速度; ② 注意運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有沒有范圍限制, 先明確運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍, 當(dāng)超出范圍時(shí)要舍去答案; ③ 注意分類討論, 找出所有的可能; ④ 當(dāng)表示的角度不能確定時(shí)考慮使用絕對值, 再利用絕對值進(jìn)行分類計(jì)算.
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