5. (2024·無錫期末)如圖,已知 $ M,N $ 兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為 $ m $ 和 $ n $,其中 $ m $ 表示的數(shù)為 $ 10 $,$ n $ 表示的數(shù)為 $ -2 $.有一個玩具火車 $ AB $ 放置在數(shù)軸上,將火車沿數(shù)軸左右水平移動,當(dāng)點(diǎn) $ A $ 移動到點(diǎn) $ B $ 的起始位置時,點(diǎn) $ B $ 與點(diǎn) $ M $ 重合,當(dāng)點(diǎn) $ B $ 移動到點(diǎn) $ A $ 的起始位置時,點(diǎn) $ A $ 與點(diǎn) $ N $ 重合,則玩具火車的長為
4
個單位長度;將此玩具火車沿數(shù)軸左右水平移動,當(dāng) $ NA:BM = 3:1 $ 時,點(diǎn) $ A $ 所表示的數(shù)為
4或10
.
答案：4；4或10 解析:依題意得AB=$\frac{1}{3}$NM=$\frac{1}{3}$×[10?(?2)]=$\frac{1}{3}$×12=4,所以玩具火車的長為4個單位長度.設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為x,則點(diǎn)B所表示的數(shù)為(x + 4),因為點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),當(dāng)NA:BM=3:1時可知,AN＞BM,所以A,B兩點(diǎn)只能在點(diǎn)N的右側(cè),所以AB只能向右運(yùn)動,即x＞?2,所以AN=x?(?2)=x + 2,BM=|x + 4?10|=|x?6|,當(dāng)NA:BM=3:1時,即x + 2=3|x?6|,解得x = 4或10,所以當(dāng)NA:BM=3:1時,點(diǎn)A所表示的數(shù)為4或10.
解析：
玩具火車的長為4個單位長度；點(diǎn)A所表示的數(shù)為4或10。
解：
1. 求玩具火車長度
由題意知，NM的距離為$10 - (-2) = 12$。
當(dāng)火車移動時，$3AB = NM$，故$AB = \frac{1}{3} × 12 = 4$。
2. 求點(diǎn)A表示的數(shù)
設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為$x$，則點(diǎn)B表示的數(shù)為$x + 4$。
$NA = x - (-2) = x + 2$，$BM = |(x + 4) - 10| = |x - 6|$。
由$NA:BM = 3:1$得$x + 2 = 3|x - 6|$。
當(dāng)$x \geq 6$時，$x + 2 = 3(x - 6)$，解得$x = 10$；
當(dāng)$x ＜ 6$時，$x + 2 = 3(6 - x)$，解得$x = 4$。
綜上，$x = 4$或$10$。
答案：4；4或10。
6. (2024·蘇州期末)如圖①,已知數(shù)軸上點(diǎn) $ O $ 表示原點(diǎn),點(diǎn) $ M $ 表示的數(shù)為 $ 12 $.動點(diǎn) $ A $ 從原點(diǎn)出發(fā),以每秒 $ 1 $ 個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動,到點(diǎn) $ M $ 停止運(yùn)動;動點(diǎn) $ E $ 從點(diǎn) $ M $ 出發(fā),以每秒 $ 2 $ 個單位長度的速度沿數(shù)軸先運(yùn)動到點(diǎn) $ O $ 后立即以原速返回 $ M $,點(diǎn) $ A $ 和點(diǎn) $ E $ 同時出發(fā),同時停止.設(shè)運(yùn)動的時間為 $ t \text{ s} $.
(1)點(diǎn) $ A $ 在數(shù)軸上表示的數(shù)為____,點(diǎn) $ E $ 在數(shù)軸上表示的數(shù)為____(用含 $ t $ 的代數(shù)式表示);
(2)如圖②,數(shù)軸上從左到右依次是點(diǎn) $ A,B,E,F $,線段 $ AB = 2,EF = 4 $,在數(shù)軸上方作正方形 $ ABCD $ 與正方形 $ EFGH $,兩個正方形隨點(diǎn) $ A $ 和點(diǎn) $ E $ 運(yùn)動,若兩個正方形同時出發(fā),求 $ t $ 為何值時,兩個正方形的重疊部分面積為 $ 2 $?
(1)
$t$
$\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$
(2)
當(dāng)$t=\frac{11}{3}$或$t = 5$或$t = 9$時，兩個正方形的重疊部分面積為$2$。
答案：(1)$t\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$ 解析:因為動點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為ts,所以點(diǎn)A表示的數(shù)為t;在折返前，點(diǎn)E從點(diǎn)M出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸先運(yùn)動到點(diǎn)O后立即以原速返回M,所以EM=2t,所以O(shè)E=OM?EM=12?2t.當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)O時,t = 6.故在折返后,OE=2(t?6)=2t?12.當(dāng)t = 12時,點(diǎn)E回到點(diǎn)M.故點(diǎn)E在數(shù)軸上表示的數(shù)為$\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$
(2)由(1)得OA=t,OM=12.
①當(dāng)點(diǎn)E還沒有折返時,存在兩種情況:
a:此時EM=2t,因為兩個正方形的重疊部分面積為2,且AB=2,EF=4,所以S=BC·BE=2BE=2,解得BE=1,所以AE=1.因為OA+AE+ME=OM,所以t+1+2t=12,解得t=$\frac{11}{3}$;
b:此時EM=2t,AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF?AF=3,所以O(shè)A+EM?AE=OM,所以t+2t?3=12,解得t=5.
②點(diǎn)E折返后,存在兩種情況:
a:OA=t,OE=2t?12,此時AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF?AF=3,所以O(shè)E+AE=OA,所以2t?12+3=t,解得t=9;
b:OA=t,OE=2t?12,此時BC·BE=2,所以BE=1,所以O(shè)A=OE?AE,所以t=2t?12?1,解得t=13(舍去).
綜上所述,當(dāng)t=$\frac{11}{3}$或t = 5或t = 9時,兩個正方形的重疊部分面積為2.
