1. (2025·南通期末)中國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題,大意是現(xiàn)有一根竿子和一條繩索,用繩索去量竿子,繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子,繩索就比竿子短5尺,問繩索、竿子各有多長?甲、乙兩人所列方程如下,下列選項判斷正確的是 (
C
)
甲：設竿子長為x尺,根據(jù)題意可列方程為$x-\frac {x+5}{2}= 5;$
乙：設繩索長為x尺,根據(jù)題意可列方程為$(x-5)-\frac {x}{2}= 5$
A.甲對乙錯
B.甲錯乙對
C.甲、乙都對
D.甲、乙都錯
答案：C 解析:設竿子長為$x$尺,則繩子長$(x + 5)$尺,根據(jù)“將繩索對折去量竿子,繩索就比竿子短5尺”可列方程為$x - \frac{x + 5}{2} = 5$;設繩索長為$x$尺,則桿子長$(x - 5)$尺,根據(jù)“將繩索對折去量竿子,繩索就比竿子短5尺”可列方程為$(x - 5) - \frac{x}{2} = 5$.故甲,乙兩人所列方程都對,故選C.
2. (2025·南京期末)某商品的進價為200元,按標價的8折出售,仍可獲利20%,則該商品的標價是 (
D
)
A.240元
B.260元
C.280元
D.300元
答案：D 解析:設該商品的標價為$x$元,則售價為$0.8x$元,根據(jù)題意得$0.8x - 200 = 200×20\%$,解得$x = 300$,即標價為300元.故選D.
3. (2025·揚州期末)如圖,鐘表的秒針因故障停滯不動,時針與分針正常運行.小晶發(fā)現(xiàn)3點整時,秒針正好是時針與分針夾角的平分線,經(jīng)過m min后,秒針又一次成為時針與分針夾角的平分線,則m的最小值是____.
答案：$\frac{720}{13}$ 解析:如圖,因為3點整時,秒針正好是時針與分針夾角的平分線,分針在秒針的左側,秒針不動,所以當分針轉一圈再回到秒針左側時,秒針再次平分時針與分針夾角,此時經(jīng)過的時間最少,分針每分鐘走$\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$,時針每分鐘走$\frac{30^{\circ}}{60} = (\frac{1}{2})^{\circ}$,根據(jù)題意得$∠AOB = ∠BOC = 45^{\circ}$,經(jīng)過$m$ min后,$∠AOA_1 = 360^{\circ} - 6^{\circ}×m$,$∠COC_1 = (\frac{1}{2})^{\circ}×m$,因為$OB$平分$∠A_1OC_1$,所以$∠A_1OB = ∠BOC_1$,所以$∠A_1OA + ∠AOB = ∠BOC + ∠C_1OC$,所以$360 - 6m + 45 = 45 + \frac{1}{2}m$,解得$m = \frac{720}{13}$.
4. (2025·南京期末)甲、乙兩地相距600 km,一輛客車從甲地開往乙地,速度為60 km/h,一輛出租車從乙地開往甲地,速度為100 km/h,兩車同時出發(fā),到達各自目的地后停止行駛.設客車行駛時間為t h.
(1)出發(fā)多長時間兩車相遇?
(2)分別寫出$t= 3,t= 5和t= 8$時兩車的距離.
(3)甲、乙兩地之間有A,B兩個加油站,相距200 km,若客車進入A站加油時,出租車恰好進入B站加油.求A加油站到甲地的距離.
答案：(1) 根據(jù)題意得$60t + 100t = 600$,解得$t = \frac{15}{4}$,所以出發(fā)$\frac{15}{4}$ h兩車相遇.
(2) 當$t = 3$時,兩車相距$600 - 3×(60 + 100) = 120(km)$,當$t = 5$時,兩車相距$5×(60 + 100) - 600 = 200(km)$,當$t = 8$時,乙車已經(jīng)到達目的地,此時兩車相距$8×60 = 480(km)$.
(3) 設A加油站到甲地的距離為$x$ km,當A加油站比B加油站更靠近甲地時,$\frac{x}{60} = \frac{600 - 200 - x}{100}$,解得$x = 150$,當A加油站比B加油站更靠近乙地時,$\frac{x}{60} = \frac{600 - x + 200}{100}$,解得$x = 300$,所以A加油站到甲地的距離為150 km或300 km.
5. (2025·宿遷期末)泗洲商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品,平時甲種商品每件售價80元,每件的利潤為30元；乙種商品每件進價40元,售價60元.在“元旦”期間,同時對甲、乙兩種商品進行如下的優(yōu)惠促銷活動：①購物總金額不超過300元的不優(yōu)惠；②購物總金額超過300元,但不超過500元的打九折；③購物總金額超過500元的打八折.
(1)甲種商品每件的進價為
50
元,若活動期間一次性購物總金額是400元,實際應付
360
元.
(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共60件,總進價用去2 600元,求商場在平時可以盈利多少元?
設該商場購進$x$件甲種商品,則購進$(60 - x)$件乙種商品,根據(jù)題意得$50x + 40(60 - x) = 2600$,解得$x = 20$,所以$30x + (60 - 40)(60 - x) = 30×20 + (60 - 40)×(60 - 20) = 1400$(元).
答:商場在平時可以盈利1400元.
(3)按“元旦”期間優(yōu)惠條件,小明一次性購買了乙種商品,實際付款是432元,求商場實際利潤是多少元?
設小明一次性購買了$y$件乙種商品,根據(jù)題意得$0.9×60y = 432$或$0.8×60y = 432$,解得$y = 8$或$y = 9$.當$y = 8$時,$432 - 40y = 432 - 40×8 = 112$(元);當$y = 9$時,$432 - 40y = 432 - 40×9 = 72$(元).
答:商場實際利潤是72元或112元.
答案：(1) 50 360
(2) 設該商場購進$x$件甲種商品,則購進$(60 - x)$件乙種商品,根據(jù)題意得$50x + 40(60 - x) = 2600$,解得$x = 20$,所以$30x + (60 - 40)(60 - x) = 30×20 + (60 - 40)×(60 - 20) = 1400$(元).
答:商場在平時可以盈利1400元.
(3) 設小明一次性購買了$y$件乙種商品,根據(jù)題意得$0.9×60y = 432$或$0.8×60y = 432$,解得$y = 8$或$y = 9$.當$y = 8$時,$432 - 40y = 432 - 40×8 = 112$(元);當$y = 9$時,$432 - 40y = 432 - 40×9 = 72$(元).
答:商場實際利潤是72元或112元.
