1. (2024·無錫期末)已知有公共端點的射線OA,OB,OC,OD,若點$P_{1},P_{2},P_{3},... $,按如圖所示規(guī)律排列,則點$P_{2024}$落在 (
C
)
A.射線OA上
B.射線OB上
C.射線OC上
D.射線OD上
答案：C解析:由題圖可得,$P_{1}$到$P_{5}$順時針,$P_{5}$到$P_{9}$逆時針,每8個點為一個周期循環(huán),因為$(2024 - 1)÷8 = 252\cdots\cdots7$,所以點$P_{2024}$落在射線$OC$上.故選C.
2. (2024·常州期末)如圖,正方形的邊長均是a,以圖①,②,③呈現(xiàn)的規(guī)律類推,圖⑩中所有圓的周長的和是 (
C
)
A.πa
B.5πa
C.10πa
D.20πa
答案：C 解析:題圖①中所有圓的周長和:$\pi a$,
題圖②中所有圓的周長和:$\frac{1}{2}\pi a\cdot4=\frac{1}{2}\pi a\cdot2^{2}=2\pi a$,
題圖③中所有圓的周長和:$\frac{1}{3}\pi a\cdot9=\frac{1}{3}\pi a\cdot3^{2}=3\pi a$,
……
則題圖?中所有圓的周長和:$\frac{1}{n}\pi a\cdot n^{2}=n\pi a$,
則圖⑩中所有圓的周長和為$10\pi a$,故選C.
3. (2025·鹽城期末)如圖①所示的是中國南宋數(shù)學家楊輝在《九章算法》中出現(xiàn)的三角形狀的數(shù)列,又稱為“楊輝三角形”,該三角形中的數(shù)據(jù)排列有著一定的規(guī)律,若將其中一組斜數(shù)列用字母$a_{1},a_{2},a_{3}... ... $代替,如圖②,則$a_{59}+a_{60}$的值為 (
C
)
A.3 580
B.3 590
C.3 600
D.3 720
答案：C 解析:$a_{1}=1,a_{2}=1 + 2 = 3,a_{3}=1 + 2 + 3 = 6,a_{4}=1 + 2 + 3 + 4 = 10,a_{5}=1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,\cdots$;則$a_{n}=1 + 2 + 3 + \cdots + n=\frac{n(1 + n)}{2}$,所以$a_{59}+a_{60}=\frac{59×(59 + 1)}{2}+\frac{60×(60 + 1)}{2}=1770 + 1830 = 3600$.故選C.
4. 已知數(shù)$a= 1^{5}+2^{5}+3^{5}+4^{5}+5^{5}+... +29^{5}$,這個數(shù)a的個位數(shù)為 (
C
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：C 解析:因為$1^{5}$的個位數(shù)是$1,2^{5}$的個位數(shù)是$2,3^{5}$的個位數(shù)是$3,4^{5}$的個位數(shù)是$4,5^{5}$的個位數(shù)是$5,6^{5}$的個位數(shù)是$6,7^{5}$的個位數(shù)是$7,8^{5}$的個位數(shù)是$8,9^{5}$的個位數(shù)是$9,10^{5}$的個位數(shù)是$0$,由此可發(fā)現(xiàn)$n^{5}$的個位數(shù)與$n$的個位數(shù)相同,所以$a$的個位數(shù)應(yīng)是$1 + 2 + 3 + \cdots + 9 + 0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + 9 + 0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + 9$的結(jié)果的個位數(shù),且該結(jié)果的個位數(shù)是5.故選C.
5. 在如圖所示的圖案中,每個小三角形的邊長都為1,把由四個小三角形組成的邊長為2的大三角形稱為一個“單元”,現(xiàn)將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數(shù)分別填入圖中的十個小三角形中,使得對于圖中的四個“單元”,每個“單元”中的四個數(shù)之和都是23,若2,4,5,a已填入圖中,位置如圖所示,則a表示的數(shù)是____.
答案：3 解析:如圖,由題意得$x + y + 2 + 5 = 23$,所以$x + y = 16$.又因為$4 + a + x + y = 23$,即$4 + a + 16 = 23$,所以$a = 3$.
6. (2025·鹽城期末)如圖,甲、乙兩動點分別從正八邊形ABCDEFGH的頂點A,G同時出發(fā),沿正八邊形的邊移動.甲點依順時針環(huán)形運動,乙點依逆時針環(huán)形運動.若乙的速度是甲的速度的3倍,則它們第2025次相遇在正八邊形的邊
AH
上.(用字母表示)
答案：$AH$解析:設(shè)正八邊形的邊長為$a$,甲的速度為$v$,則乙的速度為$3v$,根據(jù)題意,得第一次相遇甲、乙走的總路程為$2a$,則第一次相遇的用時為$\frac{2a}{v + 3v}=\frac{a}{2v}$,此時甲走了$\frac{a}{2v}× v=\frac{1}{2}a$,即相遇在正八邊形的邊$AH$上;第二次相遇甲、乙走的總路程為$8a$,則第二次相遇的用時為$\frac{8a}{v + 3v}=\frac{2a}{v}$,此時甲走了$\frac{2a}{v}× v = 2a$,即相遇在正八邊形的邊$GF$上;第三次相遇甲、乙走的總路程為$8a$,則第三次相遇的用時為$\frac{8a}{v + 3v}=\frac{2a}{v}$,此時甲走了$\frac{2a}{v}× v = 2a$,即相遇在正八邊形的邊$DE$上;第四次相遇甲、乙走的總路程為$8a$,則第四次相遇的用時為$\frac{8a}{v + 3v}=\frac{2a}{v}$,此時甲走了$\frac{2a}{v}× v = 2a$,即相遇在正八邊形的邊$BC$上;第五次相遇甲、乙走的總路程為$8a$,則第五次相遇的用時為$\frac{8a}{v + 3v}=\frac{2a}{v}$,此時甲走了$\frac{2a}{v}× v = 2a$,即相遇在正八邊形的邊$AH$上;依此類推,第五次和第一次相同,所以相遇位置每四次一循環(huán),因為$2025÷4 = 506\cdots\cdots1$,所以第2025次相遇與第一次相同,在正八邊形的邊$AH$上.
解析：
解：設(shè)正八邊形邊長為$a$，甲速度為$v$，則乙速度為$3v$。
第一次相遇：總路程$2a$，用時$\frac{2a}{v + 3v}=\frac{a}{2v}$，甲走$\frac{a}{2v}×v=\frac{1}{2}a$，相遇在邊$AH$。
第二次相遇：總路程$8a$，用時$\frac{8a}{4v}=2\frac{a}{v}$，甲走$2\frac{a}{v}×v = 2a$，相遇在邊$GF$。
第三次相遇：總路程$8a$，甲走$2a$，相遇在邊$DE$。
第四次相遇：總路程$8a$，甲走$2a$，相遇在邊$BC$。
第五次相遇：總路程$8a$，甲走$2a$，相遇在邊$AH$，周期為$4$。
$2025÷4 = 506\cdots\cdots1$，第$2025$次與第一次相同，在邊$AH$。
答案：$AH$
7. 如圖,點M在線段AN的延長線上,且線段$MN= 20$,第一次操作:分別取線段AM和AN的中點$M_{1},N_{1}$;第二次操作:分別取線段$AM_{1}和AN_{1}的中點M_{2},N_{2}$;第三次操作:分別取線段$AM_{2}和AN_{2}的中點M_{3},N_{3}$……連續(xù)這樣操作10次,則$M_{10}N_{10}= $____
$\frac{5}{2^{8}}$
.
答案：$\frac{5}{2^{8}}$解析:因為線段$MN = 20,M_{1},N_{1}$是線段$AM$和$AN$的中點,所以$M_{1}N_{1}=AM_{1}-AN_{1}=\frac{1}{2}AM-\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}(AM - AN)=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×20 = 10$.因為$M_{2},N_{2}$是線段$AM_{1}$和$AN_{1}$的中點,所以$M_{2}N_{2}=AM_{2}-AN_{2}=\frac{1}{2}AM_{1}-\frac{1}{2}AN_{1}=\frac{1}{2}(AM_{1}-AN_{1})=\frac{1}{2}M_{1}N_{1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×20 = 5$.發(fā)現(xiàn)規(guī)律:$M_{n}N_{n}=\frac{1}{2^{n}}×20$,所以$M_{10}N_{10}=\frac{1}{2^{10}}×20=\frac{2×2×5}{2×2×2×2×2×2×2×2×2×2}=\frac{5}{2^{8}}$.
解析：
解：因為線段$MN = 20$，$M_{1},N_{1}$是線段$AM$和$AN$的中點，所以$M_{1}N_{1}=AM_{1}-AN_{1}=\frac{1}{2}AM - \frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}(AM - AN)=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×20 = 10$。
因為$M_{2},N_{2}$是線段$AM_{1}$和$AN_{1}$的中點，所以$M_{2}N_{2}=AM_{2}-AN_{2}=\frac{1}{2}AM_{1}-\frac{1}{2}AN_{1}=\frac{1}{2}(AM_{1}-AN_{1})=\frac{1}{2}M_{1}N_{1}=\frac{1}{2}×10 = 5$。
同理可得，$M_{3}N_{3}=\frac{1}{2}M_{2}N_{2}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，以此類推，規(guī)律為$M_{n}N_{n}=\frac{1}{2^{n}}×20$。
則$M_{10}N_{10}=\frac{1}{2^{10}}×20=\frac{20}{1024}=\frac{5}{256}=\frac{5}{2^{8}}$。
$\frac{5}{2^{8}}$
8. (2024·揚州期末)設(shè)一列數(shù)$|a_{1}|,|a_{2}|,|a_{3}|,...,|a_{2024}|$中任意三個相鄰數(shù)之和都是20,已知$|a_{6}|= 9,|a_{14}|= 2x,|a_{31}|= x+2$,那么$|a_{2024}-a_{2023}|= $
1或11
.
答案：1或11 解析:因為一列數(shù)$|a_{1}|,|a_{2}|,|a_{3}|,\cdots,|a_{2024}|$中任意三個相鄰數(shù)之和都是20,所以$|a_{3n + 1}| = |a_{1}|,|a_{3n + 2}| = |a_{2}|,|a_{3n + 3}| = |a_{3}|$($n$為自然數(shù)).因為$|a_{6}| = 9,|a_{14}| = 2x,|a_{31}| = x + 2$,所以$|a_{1}| = x + 2,|a_{2}| = 2x,|a_{3}| = 9$,所以$x + 2 + 2x + 9 = 20$,所以$x = 3$,所以$|a_{1}| = 5,|a_{2}| = 6$.因為$|a_{2024}| = 6,|a_{2023}| = 5$,所以$a_{2024}=\pm6,a_{2023}=\pm5$,所以$|a_{2024}-a_{2023}| = 1$或11.
解析：
解：因為一列數(shù)$|a_{1}|,|a_{2}|,|a_{3}|,\cdots,|a_{2024}|$中任意三個相鄰數(shù)之和都是20，所以該數(shù)列的絕對值部分具有周期性，周期為3，即$|a_{3n + 1}| = |a_{1}|,|a_{3n + 2}| = |a_{2}|,|a_{3n + 3}| = |a_{3}|$（$n$為自然數(shù)）。
因為$6 = 3×2$，所以$|a_{6}| = |a_{3}| = 9$；$14 = 3×4 + 2$，所以$|a_{14}| = |a_{2}| = 2x$；$31 = 3×10 + 1$，所以$|a_{31}| = |a_{1}| = x + 2$。
由題意得$|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| = 20$，即$x + 2 + 2x + 9 = 20$，解得$x = 3$。
所以$|a_{1}| = 3 + 2 = 5$，$|a_{2}| = 2×3 = 6$，$|a_{3}| = 9$。
因為$2024 = 3×674 + 2$，所以$|a_{2024}| = |a_{2}| = 6$；$2023 = 3×674 + 1$，所以$|a_{2023}| = |a_{1}| = 5$。
則$a_{2024} = ±6$，$a_{2023} = ±5$。
當$a_{2024} = 6$，$a_{2023} = 5$時，$|a_{2024} - a_{2023}| = |6 - 5| = 1$；
當$a_{2024} = 6$，$a_{2023} = -5$時，$|a_{2024} - a_{2023}| = |6 - (-5)| = 11$；
當$a_{2024} = -6$，$a_{2023} = 5$時，$|a_{2024} - a_{2023}| = |-6 - 5| = 11$；
當$a_{2024} = -6$，$a_{2023} = -5$時，$|a_{2024} - a_{2023}| = |-6 - (-5)| = 1$。
綜上，$|a_{2024} - a_{2023}| = 1$或$11$。
答案：1或11
9. 黑板上寫有1,2,3,…,100共100個數(shù),每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)a,b,然后擦去a,b,并在黑板上寫$a+b+1$,則經(jīng)過
99
次操作后,黑板上只剩下一個數(shù),這個數(shù)是
5149
.
答案：99 5149解析:每一次擦去都會將被擦去的數(shù)相加再加1,$1\sim100$的每一個數(shù)最后都會被擦去,總共擦去99次,因此最后留下的數(shù)是$1 + 2 + 3 + \cdots + 100 + 99×1 = 5050 + 99 = 5149$.
解析：
解：每次操作減少1個數(shù)，最初有100個數(shù)，最后剩1個數(shù)，所以操作次數(shù)為$100-1=99$次。
因為每次操作擦去a,b，寫上$a+b+1$，即每次操作后所有數(shù)的總和增加1。經(jīng)過99次操作，總和共增加99。
又因為1到100的和為$\frac{100×(100+1)}{2}=5050$，所以最后剩下的數(shù)是$5050+99=5149$。
99；5149
