11. 如圖,已知$∠AOB = 150^{\circ}$,$∠COD = 50^{\circ}$,OM平分$∠AOD$,ON平分$∠BOC$,則$∠MON$的度數(shù)為
50
$^{\circ}$.
答案：50 解析:因?yàn)?$ \angle BOC = \angle BOD + \angle COD $,所以 $ \angle AOD + \angle BOC = \angle AOD + \angle BOD + \angle COD = \angle AOB + \angle COD = 150^{\circ} + 50^{\circ} = 200^{\circ} $.又因?yàn)?$ OM $ 平分 $ \angle AOD $, $ ON $ 平分 $ \angle BOC $,所以 $ \angle MOD + \angle CON = \frac{1}{2} × ( \angle AOD + \angle BOC ) = \frac{1}{2} × 200^{\circ} = 100^{\circ} $.又因?yàn)?$ \angle MOD = \angle MON + \angle DON $,所以 $ \angle MOD + \angle CON = \angle MON + \angle DON + \angle CON = \angle MON + \angle COD = 100^{\circ} $,即 $ \angle MON + 50^{\circ} = 100^{\circ} $,所以 $ \angle MON = 100^{\circ} - 50^{\circ} = 50^{\circ} $.
12. (2024·鹽城大豐區(qū)模擬)光從空氣斜射入水中,傳播方向會(huì)發(fā)生變化.如圖,表示水面的直線AB與表示水底的直線CD平行,光線EF從空氣射入水中,改變方向后射到水底G處,FH是EF的延長(zhǎng)線,若$∠1 = 43^{\circ}$,$∠2 = 15^{\circ}$,則$∠CGF$的度數(shù)是______.
$58^{\circ}$
答案：$ 58^{\circ} $ 解析:因?yàn)?$ \angle 1 = 43^{\circ} $, $ \angle 2 = 15^{\circ} $,所以 $ \angle AFG = 180^{\circ} - \angle 1 - \angle 2 = 180^{\circ} - 43^{\circ} - 15^{\circ} = 122^{\circ} $.因?yàn)?$ AB // CD $,所以 $ \angle CGF = 180^{\circ} - \angle AFG = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} $.
13. 如圖,把一張長(zhǎng)方形的紙條ABCD沿EF折疊,若$∠BFC'比∠BFE多6^{\circ}$,則$∠EFC = $
122
$^{\circ}$.
答案：122 解析:設(shè) $ \angle EFC = x $,則 $ \angle 1 = 180^{\circ} - x $,則 $ \angle BFC' = x - ( 180^{\circ} - x ) = 2x - 180^{\circ} $.因?yàn)?$ \angle BFC' $ 比 $ \angle BFE $ 多 $ 6^{\circ} $,所以 $ 2x - 180^{\circ} - ( 180^{\circ} - x ) = 6^{\circ} $,解得 $ x = 122^{\circ} $,即 $ \angle EFC = 122^{\circ} $.
解析：
設(shè)$\angle EFC = x$，由平角定義得$\angle 1 = 180^{\circ}-x$。
由折疊性質(zhì)知$\angle EFC'=\angle EFC = x$，則$\angle BFC'=\angle EFC' - \angle 1=x-(180^{\circ}-x)=2x - 180^{\circ}$。
因?yàn)?\angle BFC'$比$\angle BFE$多$6^{\circ}$，且$\angle BFE=\angle 1$，所以$2x - 180^{\circ}-(180^{\circ}-x)=6^{\circ}$。
解得$3x=366^{\circ}$，$x = 122^{\circ}$。
$122$
14. 如圖,$∠MAN = 52^{\circ}$,過(guò)射線AM上一點(diǎn)C作$CP // AN$,CB平分$∠ACP$,依次作出$∠BCP的平分線CB_1$,$∠B_1CP的平分線CB_2$,$∠B_{n - 1}CP的平分線CB_n$,其中點(diǎn)B,$B_1$,$B_2$,…,$B_{n - 1}$,$B_n$都在射線AN上,若$∠PCB_n = 1^{\circ}$,則$n = $
6
.
答案：6 解析:因?yàn)?$ CP // AN $,所以 $ \angle ACP = 180^{\circ} - \angle MAN $.因?yàn)?$ CB $ 平分 $ \angle ACP $,所以 $ \angle PCB = \frac{1}{2} \angle ACP = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \angle MAN ) $.又因?yàn)?$ CB_1 $ 平分 $ \angle BCP $,所以 $ \angle PCB_1 = \frac{1}{2} \angle PCB = \frac{1}{2^2} ( 180^{\circ} - \angle MAN ) $,…,所以 $ \angle PCB_n = \frac{1}{2} \angle PCB_{n - 1} = \frac{1}{2^{n + 1}} ( 180^{\circ} - \angle MAN ) $.因?yàn)?$ \angle MAN = 52^{\circ} $, $ \angle PCB_n = 1^{\circ} $,所以 $ \frac{1}{2^{n + 1}} ( 180^{\circ} - 52^{\circ} ) = 1^{\circ} $,解得 $ n = 6 $.
解析：
解：因?yàn)?$ CP // AN $，所以 $ \angle ACP = 180^{\circ} - \angle MAN $。
因?yàn)?$ CB $ 平分 $ \angle ACP $，所以 $ \angle PCB = \frac{1}{2} \angle ACP = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle MAN) $。
因?yàn)?$ CB_1 $ 平分 $ \angle BCP $，所以 $ \angle PCB_1 = \frac{1}{2} \angle PCB = \frac{1}{2^2}(180^{\circ} - \angle MAN) $。
同理可得，$ \angle PCB_n = \frac{1}{2^{n+1}}(180^{\circ} - \angle MAN) $。
因?yàn)?$ \angle MAN = 52^{\circ} $，$ \angle PCB_n = 1^{\circ} $，
所以 $ \frac{1}{2^{n+1}}(180^{\circ} - 52^{\circ}) = 1^{\circ} $，
即 $ \frac{128^{\circ}}{2^{n+1}} = 1^{\circ} $，解得 $ 2^{n+1} = 128 $，$ n+1 = 7 $，$ n = 6 $。
答案：$ 6 $
15. (6分)按要求完成下列作圖(保留作圖痕跡)：
如圖,在一條筆直的公路兩側(cè),分別有A,B兩個(gè)村莊.
(1)要在公路l上建一公交站P,使點(diǎn)P到A,B兩個(gè)村莊距離之和最短,畫(huà)出點(diǎn)P的位置,理由是______；
(2)在公路上找出一點(diǎn)Q,滿足點(diǎn)Q到村莊A距離最近,畫(huà)出點(diǎn)Q的位置,理由是______.
答案：(1) 如圖①,連接 $ AB $ 交直線 $ l $ 于點(diǎn) $ P $,點(diǎn) $ P $ 即為所求.兩點(diǎn)之間,線段最短
(2) 如圖②,過(guò)直線 $ l $ 外一點(diǎn) $ A $ 作 $ l $ 的垂線,垂足為 $ Q $,點(diǎn) $ Q $ 即為所求.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短
16. (7分)(2024·周口期末)如圖,已知F,E分別是射線AB,CD上的點(diǎn).連接AC,AE平分$∠BAC$,EF平分$∠AED$,$∠2 = ∠3$.
(1)試說(shuō)明：$AB // CD$；
(2)若$∠AFE - ∠2 = 30^{\circ}$,求$∠AFE$的度數(shù).
答案：(1) 因?yàn)?$ AE $ 平分 $ \angle BAC $,所以 $ \angle 1 = \angle 2 $.因?yàn)?$ \angle 2 = \angle 3 $,所以 $ \angle 1 = \angle 3 $,所以 $ AB // CD $. (2) 因?yàn)?$ \angle AFE - \angle 2 = 30^{\circ} $,所以 $ \angle AFE = \angle 2 + 30^{\circ} $.因?yàn)?$ AB // CD $,所以 $ \angle AFE = \angle FED = \angle 2 + 30^{\circ} $.因?yàn)?$ EF $ 平分 $ \angle AED $,所以 $ \angle AED = 2 \angle FED = 2 \angle 2 + 60^{\circ} $.因?yàn)?$ \angle 3 + \angle AED = 180^{\circ} $,所以 $ \angle 3 + 2 \angle 2 + 60^{\circ} = 180^{\circ} $.因?yàn)?$ \angle 3 = \angle 2 $,所以 $ \angle 2 = 40^{\circ} $,所以 $ \angle AFE = \angle 2 + 30^{\circ} = 70^{\circ} $,所以 $ \angle AFE $ 的度數(shù)為 $ 70^{\circ} $.
解析：
(1) 因?yàn)?AE 平分∠BAC，所以∠1=∠2。因?yàn)椤?=∠3，所以∠1=∠3，所以 AB//CD。
(2) 因?yàn)椤螦FE - ∠2 = 30°，所以∠AFE = ∠2 + 30°。因?yàn)?AB//CD，所以∠AFE = ∠FED = ∠2 + 30°。因?yàn)?EF 平分∠AED，所以∠AED = 2∠FED = 2∠2 + 60°。因?yàn)椤? + ∠AED = 180°，所以∠3 + 2∠2 + 60° = 180°。因?yàn)椤? = ∠2，所以∠2 = 40°，所以∠AFE = 40° + 30° = 70°。
∠AFE 的度數(shù)為 70°。
17. (7分)如圖,已知點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),若$AB = 8cm$,$BD = 3cm$.
(1)求線段CD的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn),且$BE = \frac{1}{3}BD$,點(diǎn)F是BE的中點(diǎn),求線段CF的長(zhǎng).
答案：(1) 因?yàn)辄c(diǎn) $ C $ 是線段 $ AB $ 的中點(diǎn), $ AB = 8 \, \text{cm} $,所以 $ BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 \, \text{cm} $,所以 $ CD = BC - BD = 4 - 3 = 1 \, \text{cm} $. (2) ① 當(dāng)點(diǎn) $ E $ 在點(diǎn) $ B $ 的右側(cè)時(shí),如圖①.
因?yàn)?$ BE = \frac{1}{3} BD $,所以 $ BE = \frac{1}{3} × 3 = 1 \, \text{cm} $.因?yàn)辄c(diǎn) $ F $ 是 $ BE $ 的中點(diǎn),所以 $ BF = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2} \, \text{cm} $,所以 $ CF = BC + BF = 4 + \frac{1}{2} = 4 \frac{1}{2} \, \text{cm} $. ② 當(dāng)點(diǎn) $ E $ 在點(diǎn) $ B $ 的左側(cè)時(shí),如圖②.
因?yàn)?$ BE = \frac{1}{3} BD $,所以 $ BE = \frac{1}{3} × 3 = 1 \, \text{cm} $.因?yàn)辄c(diǎn) $ F $ 是 $ BE $ 的中點(diǎn),所以 $ BF = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2} \, \text{cm} $,所以 $ CF = BC - BF = 4 - \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} \, \text{cm} $. 綜上,線段 $ CF $ 的長(zhǎng)為 $ 4 \frac{1}{2} \, \text{cm} $ 或 $ 3 \frac{1}{2} \, \text{cm} $.
