2. 如圖①,$A$,$O$,$B$三點在一條直線上,且$\angle AOC = 24^{\circ}$,$\angle BOD = 78^{\circ}$,射線$OM$,$ON分別平分\angle AOD和\angle BOD$。如圖②,將射線$OA以每秒8^{\circ}的速度繞點O$逆時針旋轉(zhuǎn)一周,同時將$\angle COD以每秒6^{\circ}的速度繞點O$逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)射線$OC與射線OB$重合時,$\angle COD$停止運動。設(shè)射線$OA的運動時間為t$秒。
(1) 運動開始前,如圖①,$\angle DON = $
39
$^{\circ}$,$\angle AOM = $
51
$^{\circ}$。
(2) 旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)$t$為何值時,射線$OD平分\angle BOM$？
因為射線OA以每秒8°的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周,同時將∠COD以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，所以∠AOD = 180° - 78° + 6°t - 8°t = 102° - 2°t.因為射線OM平分∠AOD,所以∠DOM = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(102° - 2°t).因為∠BOD = 78° - 6°t,所以$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) = 78° - 6°t,所以t = 5.4.
(3) 旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在某一時刻使得$\angle MON = 42^{\circ}$？若存在,請求出$t$的值；若不存在,請說明理由。
存在某一時刻使得∠MON = 42°,分以下幾種情況:情況一:若ON在OB上方,此時∠DOM + ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) + $\frac{1}{2}$(78° - 6°t) = 42°,解得t = 12;
情況二:若ON在OB下方,此時∠DOM - ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) - $\frac{1}{2}$(6°t - 78°) = 42°,解得t = 12(不符合題意,舍去);
情況三:當(dāng)∠COD停止運動時，OA繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)264°時,有∠MON = 42°,此時t = $\frac{264}{8}$ = 33.綜上所述，符合條件的t的值為12 或33.
