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Question 1

1. 已知 O 為直線 AB 上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) O 向直線 AB 上方引兩條射線 OC,OD,且 OC 平分∠AOD.
(1) 若∠BOD:∠AOD = 4:6,求∠AOC 的度數(shù).
(2) 請(qǐng)?jiān)趫D①中畫一條射線 OE,使得 OE 平分∠BOD,并求此時(shí)∠COE 的度數(shù).
(3) 將(2)中的射線 OE 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一定的角度,使得∠BOE = 4∠DOE,且∠COE = 75°,求此時(shí)∠BOE 的度數(shù).

Answer

答案：
1. (1) 因?yàn)椤螧OD:∠AOD = 4:6，且∠AOD + ∠BOD = 180°，所以∠AOD = $\frac{3}{5}$×180° = 108°。因?yàn)镺C平分∠AOD，所以∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×108° = 54°。
(2) 如圖①所示，OE即為所求。

因?yàn)镺C平分∠AOD，OE平分∠BOD，所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOD，∠EOD = $\frac{1}{2}$∠BOD，所以∠COE = ∠COD + ∠EOD = $\frac{1}{2}$(∠AOD + ∠BOD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
(3) 當(dāng)射線OE在∠BOD內(nèi)部時(shí)，如圖②，設(shè)∠1 = α，根據(jù)題意得∠2 = 4∠1 = 4α。因?yàn)椤螩OE = ∠1 + ∠3 = 75°，所以∠3 = 75° - α。因?yàn)镺C平分∠AOD，所以∠4 = ∠3 = 75° - α。因?yàn)椤? + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，所以α + 4α + 75° - α + 75° - α = 180°，解得α = 10°，所以∠2 = 4α = 40°，所以∠BOE = 40°。

當(dāng)射線OE在∠BOD外部時(shí)，如圖③，因?yàn)椤螧OE = 4∠DOE，設(shè)∠DOE = α，則∠DOB = 3α。所以∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 3α。因?yàn)镺C平分∠AOD，所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOD = 90° - $\frac{3}{2}$α，所以∠COE = ∠COD - ∠EOD = 90° - $\frac{3}{2}$α - α = 90° - $\frac{5}{2}$α。因?yàn)椤螩OE = 75°，所以90° - $\frac{5}{2}$α = 75°，所以α = 6°，所以∠BOE = 4α = 24°。綜上所述，∠BOE = 40°或24°。

Question 2

2. (2025·濰坊期末)將一副三角板按如圖①所示擺放,點(diǎn) A,C,O 在直線 MN 上,現(xiàn)將三角板進(jìn)行下面的操作.
操作一:保持三角板 AOB 位置不動(dòng),將三角板 COD 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖②,圖③),當(dāng)三角板 COD 的邊 OD 第一次與直線 MN 重合時(shí)旋轉(zhuǎn)停止.
思考并回答下列問(wèn)題:
(1) 當(dāng)∠MOC = ______°時(shí),OC 是∠MOB 的一條三等分線.
(2) 如圖②,當(dāng) OC,OD 位于直線 OB 的兩側(cè)時(shí),∠DOB 與∠MOC 的數(shù)量關(guān)系是______.
(3) 如圖③,當(dāng) OC,OD 位于直線 OB 的同側(cè)時(shí),(2)中結(jié)論是否仍然成立? 若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)寫出正確的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
操作二:在三角板 COD 繞點(diǎn) O 開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的同時(shí),另一個(gè)三角板 AOB 也繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)三角板 COD 的邊 OC 第一次與直線 MN 重合時(shí),兩三角板同時(shí)停止旋轉(zhuǎn).
(4) 若在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠MOC 始終是∠MOA 的 2 倍,請(qǐng)直接寫出∠DOB 與∠MOC 的數(shù)量關(guān)系.

Answer

答案：
2. (1) 15或30 解析：如圖①，當(dāng)∠MOC = $\frac{1}{3}$∠MOB時(shí)，則∠MOC = $\frac{1}{3}$×45° = 15°；

如圖②，當(dāng)∠BOC = $\frac{1}{3}$∠MOB時(shí)，則∠BOC = $\frac{1}{3}$×45° = 15°，此時(shí)∠MOC = ∠MOB - ∠BOC = 45° - 15° = 30°。故答案為15或30。
(2) ∠DOB - ∠MOC = 45°
(3) 成立，理由如下：如圖③，因?yàn)椤螹OB = 45°，所以∠MOC = ∠MOB + ∠BOC = 45° + ∠BOC，所以∠BOC = ∠MOC - 45°。因?yàn)椤螪OC = 90°，所以∠DOB = ∠DOC + ∠BOC = 90° + ∠BOC，所以∠DOB = 90° + ∠MOC - 45°，所以∠DOB - ∠MOC = 45°。

(4) 2∠DOB - ∠MOC = 90°。解析：①如圖④，當(dāng)OC，OD位于直線OB的兩側(cè)時(shí)，因?yàn)椤螹OC = 2∠MOA，所以∠MOA = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠MOC。因?yàn)椤螦OB = 45°，所以∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 45° - ∠AOC。因?yàn)椤螪OC = 90°，所以∠DOB = ∠DOC - ∠BOC = 90° - (45° - ∠AOC) = 45° + ∠AOC = 45° + $\frac{1}{2}$∠MOC，所以2∠DOB - ∠MOC = 90°。②如圖⑤，當(dāng)OC，OD位于直線OB的同側(cè)時(shí)，因?yàn)椤螹OC = 2∠MOA，所以∠MOA = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠MOC。因?yàn)椤螦OB = 45°，所以∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = ∠AOC - 45°。因?yàn)椤螪OC = 90°，所以∠DOB = ∠DOC + ∠BOC = 90° + (∠AOC - 45°) = 45° + ∠AOC = 45° + $\frac{1}{2}$∠MOC，所以2∠DOB - ∠MOC = 90°。綜上，2∠DOB - ∠MOC = 90°。