8. 某中學七年級數(shù)學課外興趣小組在探究“n邊形(n＞3)共有多少條對角線”這一問題時,設計了如下表格:
(1)請在表格中的橫線上填上相應的結果.
n - 3
$\frac{n(n - 3)}{2}$
(2)求一個十二邊形總共有多少條對角線.
把$n = 12$代入$\frac{n(n - 3)}{2}$計算得$\frac{12×9}{2} = 54$(條).故一個十二邊形總共有54條對角線.
(3)過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為2024嗎? 若能,請求出這個多邊形的邊數(shù);若不能,請說明理由.
不可能.理由:設這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得$n - 3 + n - 2 = 2024$，解得$n = \frac{2029}{2}$，因為多邊形的邊數(shù)必須是整數(shù)，所以過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和不可能為2024.
答案：(1)$n - 3$ $\frac{n(n - 3)}{2}$(2)把$n = 12$代入$\frac{n(n - 3)}{2}$計算得$\frac{12×9}{2} = 54$(條).故一個十二邊形總共有54條對角線.(3)不可能.理由:設這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得$n - 3 + n - 2 = 2024$，解得$n = \frac{2029}{2}$，因為多邊形的邊數(shù)必須是整數(shù)，所以過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和不可能為2024.
解析：
(1)$n - 3$；$\frac{n(n - 3)}{2}$
(2)解：當$n=12$時，$\frac{n(n - 3)}{2}=\frac{12×(12 - 3)}{2}=\frac{12×9}{2}=54$
答：一個十二邊形總共有54條對角線。
(3)解：設這個多邊形的邊數(shù)為$n$。
由題意得：$(n - 3)+(n - 2)=2024$
$2n - 5=2024$
$2n=2029$
$n=\frac{2029}{2}=1014.5$
因為多邊形的邊數(shù)必須是整數(shù)，所以不能。
答：不能，因為解得的邊數(shù)不是整數(shù)。
9. 若一個多邊形截去一個角后,變成十四邊形,則原來的多邊形的邊數(shù)可能為
13或14或15
.
答案：13或14或15 解析:當多邊形是十五邊形時，截去一個角，可能變成十四邊形;當多邊形是十四邊形時，截去一個角，可能變成十四邊形;當多邊形是十三邊形時，截去一個角，可能變成十四邊形.所以原來的多邊形的邊數(shù)可能為13或14或15.
解析：
解：一個多邊形截去一個角后，邊數(shù)可能增加1、不變或減少1。
若邊數(shù)增加1后為14，則原多邊形邊數(shù)為14 - 1 = 13；
若邊數(shù)不變?nèi)詾?4，則原多邊形邊數(shù)為14；
若邊數(shù)減少1后為14，則原多邊形邊數(shù)為14 + 1 = 15。
故原來的多邊形的邊數(shù)可能為13或14或15。
10. 探索題:(相鄰兩格點的距離為1)
(1)在如圖①的格點圖中,各個多邊形的內(nèi)部都有而且只有1個格點.
將各個多邊形的面積與它四周各邊上格點的個數(shù)和填入下表,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
請寫出S與x之間的數(shù)量關系.
(2)在如圖②的格點圖中,畫出幾個多邊形,使其內(nèi)部都有而且只有2個格點,再按第(1)題的做法,你發(fā)現(xiàn)此時各個多邊形的面積S與四周各邊上格點的個數(shù)和x之間又有什么樣的關系呢? 請寫出S與x之間的數(shù)量關系.
(3)請你繼續(xù)探索,當格點多邊形內(nèi)部有而且只有n個格點時,猜想S與x有怎么樣的關系.
答案：(1)多邊形序號 1 2 3 ...多邊形面積S 2 3 2 ...多邊形各邊上格點的個數(shù)和x 4 6 4 ...S與x之間的數(shù)量關系:$S = \frac{1}{2}x$(2)畫圖合理即可，如:
根據(jù)圖可知:長方形的面積是6，它的各邊上格點的個數(shù)和x是10，內(nèi)部格點數(shù)是2，$6 = 10÷2 + 1$;三角形的面積是3，它的各邊上格點的個數(shù)和x是4，內(nèi)部格點數(shù)是2，$3 = 4÷2 + 1$;梯形的面積是5，它的各邊上格點的個數(shù)和x是8，內(nèi)部格點數(shù)是2，$5 = 8÷2 + 1$;那么$S = \frac{1}{2}x + 1$.(3)由圖可知格點多邊形內(nèi)部有而且只有n個格點時，格點多邊形面積=各邊上格點的個數(shù)和$×\frac{1}{2} +$(多邊形內(nèi)部格點數(shù) - 1)，即$S = \frac{1}{2}x + (n - 1)$.
