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Question 1

1. 新趨勢(shì) 過(guò)程性學(xué)習(xí) “轉(zhuǎn)化、化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問(wèn)題的基本的數(shù)學(xué)思想方法,通過(guò)“轉(zhuǎn)化、化歸”通常可以實(shí)現(xiàn)化未知為已知,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,從而使問(wèn)題得以解決。
如圖①,已知三角形 ABC,試說(shuō)明：$∠A + ∠B + ∠C = 180^{\circ}$。
分析：通過(guò)畫(huà)平行線(xiàn),將$∠A$,$∠B$,$∠C$作等角代換,使各角之和恰為一個(gè)平角,依輔助線(xiàn)不同而得多種證法。

證法 1：如圖②,延長(zhǎng) BC 到點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) C 作$CE // BA$。
因?yàn)?BA // CE$,所以$∠B = $

∠1

(兩直線(xiàn)平行,同位角相等),$∠A = ∠2$(

兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

)。
又因?yàn)?∠BCD = ∠BCA + ∠2 + ∠1 = 180^{\circ}$(平角的定義),所以$∠A + ∠B + ∠ACB = 180^{\circ}$(等量代換)。
(1) 請(qǐng)補(bǔ)全上述證明過(guò)程。
(2) 如圖③,過(guò)線(xiàn)段 BC 上任一點(diǎn) F(點(diǎn) B,C 除外),作$FH // AC$,$FG // AB$,這種添加輔助線(xiàn)的方法也能證明$∠A + ∠B + ∠C = 180^{\circ}$。請(qǐng)完成說(shuō)理過(guò)程(此題不需要寫(xiě)括號(hào)部分的理論依據(jù))。
證法 2：如圖③,過(guò)線(xiàn)段 BC 上任一點(diǎn) F(點(diǎn) B,C 除外),作$FH // AC$,$FG // AB$,分別交 AB,AC 于點(diǎn) H,G。

因?yàn)镕H//AC,FG//AB,所以∠1=∠C,∠B=∠3,∠A=∠BHF,∠2=∠BHF,所以∠A=∠2.因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°,所以∠A+∠B+∠C=180°.

Answer

答案：1.(1)∠1　兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 (2)因?yàn)镕H//AC,FG//AB,所以∠1=∠C,∠B=∠3,∠A=∠BHF,∠2=∠BHF,所以∠A=∠2.因?yàn)椤?+∠2+∠3=180°,所以∠A+∠B+∠C=180°.

Question 2

2. 如圖,$AB // CD$,若$∠B + ∠D + ∠BED = 180^{\circ}$,則$∠BED = $

90

$^{\circ}$。

Answer

答案：2.90　解析:連接BD,因?yàn)锳B//CD,所以∠ABE+∠DBE+∠BDE+∠CDE=180°.又因?yàn)椤螦BE+∠CDE+∠BED=180°,所以∠DBE+∠BDE=∠BED.又因?yàn)椤螪BE+∠BDE+∠BED=180°,所以2∠BED=180°,所以∠BED=90°.

Question 3

3. 如圖,已知$AB // DE$,$∠B = 150^{\circ}$,$∠D = 145^{\circ}$,則$∠C = $

65

$^{\circ}$。

Answer

答案：3.65　解析:連接BD,因?yàn)锳B//DE,所以∠ABD+∠BDE=180°.因?yàn)椤螦BC+∠EDC=∠ABD+∠DBC+∠BDE+∠BDC=150°+145°=295°,所以∠DBC+∠BDC=295°?180°=115°，所以∠C=180°?(∠DBC+∠BDC)=180°?115°=65°.

Question 4

4.(2025·綏化模擬)如圖是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀的示意圖,刀柄外形是一個(gè)直角梯形(挖去一個(gè)半圓),刀片上下是平行的,轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成$∠1$,$∠2$,則$∠1 + ∠2 = $______$^{\circ}$。

Answer

答案：
4.90　解析:如圖,延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)E,由題意得AF//CD,∠ABD=∠DBE=90°.因?yàn)锳F//CD,所以∠1=∠DEB.因?yàn)椤螪BE=90°,所以∠1+∠2=90°.　　　　　

Question 5

5. 如圖,已知$AB // CD$,$∠α = 130^{\circ}$,$∠γ = 20^{\circ}$,則$∠β = $______$^{\circ}$。

Answer

答案：
5.70　解析:如圖,延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,因?yàn)锳B//CD,所以∠α+∠AFD=180°.因?yàn)椤夕?∠DEF=180°,且由三角形的內(nèi)角和為180°可得∠AFD+∠γ+∠DEF=180°,所以∠β=∠AFD+∠γ=180°?∠α+∠γ=180°?130°+20°=70°.　

Question 6

6. 一題多解如圖,一條公路修到湖邊時(shí),需拐彎繞湖而過(guò),若第一次拐角$∠A = 130^{\circ}$,第二次拐角$∠B = 150^{\circ}$。第三次拐的角是$∠C$,這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,則$∠C = $______$^{\circ}$。

Answer

答案：
6.160　解析:解法一:如圖,延長(zhǎng)AB,交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,由題意得AF//DE,所以∠A=∠E=130°.過(guò)點(diǎn)B作GH//AF,所以∠A=∠ABH.所以∠ABH=∠E,所以GH//CD,所以∠HBC=∠BCE;因?yàn)椤螦BC=∠ABH+∠HBC=∠E+∠BCE=150°,所以∠BCE=150°?∠E=150°?130°=20°,所以∠BCD=180°?∠BCE=160°.　解法二:如圖,延長(zhǎng)AB,交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,由題意得AF//DE,所以∠A=∠E=130°.因?yàn)椤螦BC=150°,所以∠CBE=180°?150°=30°.又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,所以∠E+∠BCE+∠CBE=180°.又∠BCD+∠BCE=180°,所以∠E+∠CBE=∠BCD=130°+30°=160°.　