9. (1)如圖①,$∠AOB$是鈍角,OC,OD,OE是三條射線,若$OC⊥OA$,OD平分$∠AOB$,OE平分$∠BOC$,那么$∠DOE$的度數(shù)為
45°
.
(2)如圖②,直線AB,CD相交于點O,射線OF垂直于OD,且OF平分$∠AOE$.若$∠BOC+∠EOF= 210^{\circ }$,則$∠DOE$的度數(shù)為
30°
.
答案：(1) 45° 解析：設(shè)∠BOC = x°，則∠AOB = 90° + x°。因為OD平分∠AOB，所以∠BOD = $\frac{1}{2}$(90 + x)°。因為OE平分∠BOC，所以∠BOE = $\frac{1}{2}$x°，所以∠DOE = ∠BOD - ∠BOE = $\frac{1}{2}$(90 + x)° - $\frac{1}{2}$x° = 45°。
(2) 30° 解析：因為OF⊥CD，所以∠COF = ∠DOF = 90°，所以∠AOC + ∠AOF = ∠DOE + ∠EOF = 90°。因為OF平分∠AOE，所以∠AOF = ∠EOF，所以∠AOC = ∠DOE。因為∠AOC = ∠BOD，所以∠BOD = ∠DOE。設(shè)∠BOD = ∠DOE = x°，所以∠EOF = 90° - x，∠BOC = 180° - x。因為∠BOC + ∠EOF = 210°，所以180° - x + 90° - x = 210°，解得x = 30°，所以∠DOE = 30°。
10. (1)已知$OA⊥OB$,垂足為點O,若$∠AOC:∠AOB= 2:3$,則$∠BOC= $____.
(2)(2024·北京期中)仿照垂直的定義方法給出以下新定義:兩條直線相交所形成的四個角中,如果有一個角是$60^{\circ }$,就稱這兩條直線互為“完美交線”,交點叫“完美點”.已知直線AB,CD互為“完美交線”,O為它們的“完美點”,$OE⊥AB$,則$∠EOC$的度數(shù)為____.
答案：(1) 30° 或 150° 解析：如圖，OC的位置有兩種：一種是在∠AOB內(nèi)，一種是在∠AOB外。
因為OA⊥OB，所以∠AOB = 90°。因為∠AOC:∠AOB = 2:3，所以∠AOC = $\frac{2}{3}$∠AOB = $\frac{2}{3}$×90° = 60°。
①若OC在∠AOB內(nèi)，則∠BOC = 90° - ∠AOC = 30°；
②若OC在∠AOB外，則∠BOC = 90° + ∠AOC = 150°。故答案為30° 或 150°。
(2) 30° 或 150° 解析：如圖①，當(dāng)OE在直線AB的上方時，由題意可得∠BOC = 60°。因為OE⊥AB，所以∠BOE = 90°，所以∠COE = ∠BOE - ∠BOC = 90° - 60° = 30°；
如圖②，當(dāng)OE在直線AB的下方時，由題意可得∠BOC = 60°。因為OE⊥AB，所以∠BOE = 90°，所以∠COE = ∠BOE + ∠BOC = 90° + 60° = 150°。故答案為30° 或 150°。
11. 如圖①,OC是從直線AB上一點O引出的任意一條射線,OE平分$∠AOC$,沿順時針方向作$∠EOF$,使得$∠EOF= 135^{\circ }$,以點O為端點引射線OD,使得OF是$∠BOD$的平分線.
(1)判斷OC與OD的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖②所示,若$∠EOF= 45^{\circ }$,OC與OD的位置關(guān)系是否發(fā)生變化? 并說明理由.
答案：(1) OC⊥OD。理由：因為∠BOE + ∠AOE = 180°，∠BOE + ∠BOF = 135°，所以∠AOE - ∠BOF = 45°。又OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠COE - ∠DOF = 45°，所以∠COD = ∠EOF - ∠COE + ∠DOF = 135° - 45° = 90°，所以O(shè)C⊥OD。
(2) OC與OD的位置關(guān)系不變。理由：因為OE平分∠AOC，OF是∠BOD的平分線，所以$\frac{1}{2}$∠BOD + ∠EOF + $\frac{1}{2}$∠AOC = 180°，所以∠BOD + ∠AOC = 270°。因為∠AOD + ∠DOC + ∠BOC = 180°，∠AOD + ∠BOC = 180° - ∠BOD + 180° - ∠AOC = 360° - 270° = 90°，所以∠COD = 90°，所以O(shè)C⊥OD，所以O(shè)C與OD的位置關(guān)系不變。
12. (廣州中考)一副三角尺按如圖所示的方式放置,將三角尺ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α$(0^{\circ }＜α＜90^{\circ })$,使得三角尺ADE的一邊所在的直線與BC垂直,則α的度數(shù)為____.
答案：15° 或 60° 解析：分三種情況討論：①當(dāng)DE⊥BC時，如圖①，此時∠DHB = 90°。因為∠ADE = 45°，所以∠DGH = 180° - 90° - 45° = 45°，所以∠BGA = 45°。又∠CBA = 60°，由三角形的內(nèi)角和為180°，可得∠DAB = 180° - 45° - 60° = 75°，所以∠DAF = α = 90° - 75° = 15°。②當(dāng)AD⊥BC時，如圖②，此時∠AGB = 90°。因為∠CBA = 60°，所以∠DAB = 90° - 60° = 30°，所以∠DAC = α = 90° - 30° = 60°。③當(dāng)AE⊥BC時，如圖③，此時α ＞ 90°，不符合題意，舍去。綜上所述，α 的度數(shù)為15° 或 60°。
13. 已知直線$CD⊥AB$于點O,$∠EOF= 90^{\circ }$,射線OP平分$∠COF$.
(1)如圖①,$∠EOF$在直線CD的右側(cè).
①若$∠COE= 30^{\circ }$,求$∠BOF和∠POE$的度數(shù);
②請判斷$∠POE與∠BOP$之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖②,$∠EOF$在直線CD的左側(cè),且點E在點F的下方.
①請直接寫出$∠POE與∠BOP$之間的數(shù)量關(guān)系;
②請直接寫出$∠POE與∠DOP$之間的數(shù)量關(guān)系.
答案：(1)①因為CD⊥AB，所以∠COB = 90°。因為∠EOF = 90°，所以∠COE + ∠BOE = ∠BOE + ∠BOF = 90°，所以∠BOF = ∠COE = 30°，所以∠COF = 90° + 30° = 120°。因為OP平分∠COF，所以∠COP = $\frac{1}{2}$∠COF = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，所以∠POE = ∠COP - ∠COE = 60° - 30° = 30°。
② ∠POE = ∠BOP。理由：因為CD⊥AB，所以∠COB = 90°。因為∠EOF = 90°，所以∠COE + ∠BOE = ∠BOE + ∠BOF = 90°，所以∠BOF = ∠COE。因為OP平分∠COF，所以∠COP = ∠POF，所以∠POE = ∠COP - ∠COE，∠BOP = ∠POF - ∠BOF，所以∠POE = ∠BOP。
(2)① ∠POE = ∠BOP。 ② ∠POE + ∠DOP = 270°。
