9. (2025·南京期末)如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE平分$∠BOD,∠AOC+∠DOE= 45^{\circ }$,則$∠COB=$
150
$^{\circ }$.
答案：150 解析：因?yàn)?OE 平分 $ \angle BOD $，$ \angle AOC = \angle BOD $，所以 $ \angle DOE = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} \angle AOC $。因?yàn)?$ \angle AOC + \angle DOE = 45^\circ $，所以 $ \frac{3}{2} \angle BOD = 45^\circ $，所以 $ \angle BOD = 30^\circ $，所以 $ \angle COB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $。
解析：
解：∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O
∴∠AOC=∠BOD（對(duì)頂角相等）
∵OE平分∠BOD
∴∠DOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOC
∵∠AOC+∠DOE=45°
∴∠AOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，即$\frac{3}{2}$∠AOC=45°
解得∠AOC=30°
∴∠BOD=∠AOC=30°
∵∠COB+∠BOD=180°（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)）
∴∠COB=180°-∠BOD=180°-30°=150°
150
10. 觀察下列各圖,尋找對(duì)頂角(不含平角).如圖①,圖中有2條直線相交于一點(diǎn),則對(duì)頂角有
2
對(duì);如圖②,圖中有3條直線相交于一點(diǎn),則對(duì)頂角有
6
對(duì);如圖③,圖中有n條直線相交于一點(diǎn),則對(duì)頂角有
$ n(n - 1) $
對(duì)(用含n的代數(shù)式表示).
答案：2 6 $ n(n - 1) $ 解析：如題圖 ①，圖中共有 $ 1 × 2 = 2 $（對(duì)）對(duì)頂角；如題圖 ②，圖中共有 $ 2 × 3 = 6 $（對(duì)）對(duì)頂角；研究題圖 ①~題圖 ② 中直線條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，可得若有 n 條直線相交于一點(diǎn)，則可形成 $ [n(n - 1)] $ 對(duì)對(duì)頂角。
11. 已知直線AB,CD相交于點(diǎn)O,$∠BOD= 70^{\circ }$.
(1)如圖①,若$∠AOE= 20^{\circ }$,求$∠COE$的度數(shù).
(2)如圖②,若射線OE平分$∠AOC$,畫OE的反向延長線OF,OF是否平分$∠BOD$?試說明理由.
(3)在(2)的條件下,以O(shè)為頂點(diǎn),OD為一邊畫$∠DOG= 90^{\circ }$,求$∠GOF$的度數(shù).
答案：(1) 因?yàn)?$ \angle AOC = \angle BOD = 70^\circ $，$ \angle AOE = 20^\circ $，所以 $ \angle COE = \angle AOC - \angle AOE = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ $。
(2) 畫出 OE 的反向延長線 OF，如圖 ①，OF 平分 $ \angle BOD $。
理由：因?yàn)樯渚€ OE 平分 $ \angle AOC $，所以 $ \angle AOE = \angle COE $。
因?yàn)?$ \angle AOE = \angle BOF $，$ \angle COE = \angle DOF $，
，所以 $ \angle BOF = \angle DOF $，所以 OF 平分 $ \angle BOD $。
(3) 如圖 ①，OG 在 EF 下方時(shí)，因?yàn)?OF 平分 $ \angle BOD $，所以 $ \angle DOF = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ $。因?yàn)?$ \angle DOG = 90^\circ $，所以 $ \angle GOF = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ $。如圖 ②，OG 在 EF 上方時(shí)，因?yàn)?OF 平分 $ \angle BOD $，所以 $ \angle DOF = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ $。因?yàn)?$ \angle DOG = 90^\circ $，所以 $ \angle GOF = \angle GOD - \angle DOF = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ $。綜上所述，$ \angle GOF $ 的度數(shù)為 $ 55^\circ $ 或 $ 125^\circ $。
12. 如圖①,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使$∠BOC= 120^{\circ }$.將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②,使一邊OM在$∠BOC$的內(nèi)部,且恰好平分$∠BOC$.問:此時(shí)直線ON是否平分$∠AOC$?請(qǐng)說明理由.
(2)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O以每秒$6^{\circ }$的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t s時(shí),直線ON恰好平分銳角$∠AOC$,求t的值.
(3)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③,使ON在$∠AOC$的內(nèi)部,試探索:ON在$∠AOC$的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí),$∠AOM與∠NOC$的差是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出這個(gè)差值;若變化,請(qǐng)求出差的變化范圍.
答案：(1) 直線 ON 平分 $ \angle AOC $。理由如下：如圖，設(shè) ON 的反向延長線為 OD。因?yàn)?OM 平分 $ \angle BOC $，所以 $ \angle MOC = \angle MOB $。又因?yàn)?$ \angle MOD = \angle MON = 90^\circ $，所以 $ \angle COD = \angle BON $。又因?yàn)?$ \angle AOD = \angle BON $，所以 $ \angle COD = \angle AOD $，所以 OD 平分 $ \angle AOC $，即直線 ON 平分 $ \angle AOC $。
(2) 如圖，因?yàn)?$ \angle BOC = 120^\circ $，所以 $ \angle AOC = 180^\circ - \angle BOC = 60^\circ $，所以 $ \angle BON = \angle COD = 30^\circ $，即旋轉(zhuǎn) $ 60^\circ $ 或 $ 240^\circ $ 時(shí)直線 ON 平分 $ \angle AOC $。由題意得 $ 6t = 60 $ 或 $ 6t = 240 $，解得 $ t = 10 $ 或 $ t = 40 $。
(3) 不變。因?yàn)?$ \angle MON = 90^\circ $，$ \angle AOC = 60^\circ $，所以 $ \angle AOM = 90^\circ - \angle AON $，$ \angle NOC = 60^\circ - \angle AON $，所以 $ \angle AOM - \angle NOC = (90^\circ - \angle AON) - (60^\circ - \angle AON) = 30^\circ $。故 $ \angle AOM $ 與 $ \angle NOC $ 的差不變，且 $ \angle AOM - \angle NOC = 30^\circ $。
