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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 經(jīng)綸學典學霸 › 2025年學霸題中題七年級數(shù)學上冊蘇科版 第139頁解析答案
9. (2024·漯河校級期末)如果$∠α和∠β$互補,且$∠α＞∠β$,則下列表示$∠β$的余角的式子:①$90^{\circ }-∠β$;②$∠α-90^{\circ }$;③$\frac {1}{2}(∠α+∠β)$;④$\frac {1}{2}(∠α-∠β)$.其中正確的是______.(填序號)
①②④

答案：①②④ 解析：因為$∠α$和$∠β$互補，所以$∠α + ∠β = 180^{\circ}$。因為$90^{\circ}-∠β + ∠β = 90^{\circ}$，所以①正確；因為$∠α - 90^{\circ}+∠β = ∠α + ∠β - 90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，所以②正確；因為$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)+∠β=\frac{1}{2}×180^{\circ}+∠β = 90^{\circ}+∠β ≠ 90^{\circ}$，所以③錯誤；因為$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)+∠β=\frac{1}{2}(∠α + ∠β)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，所以④正確。綜上可知，①②④正確。
解析：
解：因為∠α和∠β互補，所以∠α + ∠β = 180°。
①90° - ∠β + ∠β = 90°，故①正確；
②∠α - 90° + ∠β = (∠α + ∠β) - 90° = 180° - 90° = 90°，故②正確；
③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β) + ∠β = \frac{1}{2}×180° + ∠β = 90° + ∠β ≠ 90°$，故③錯誤；
④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) + ∠β = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，故④正確。
綜上，正確的是①②④。
答案：①②④
10. 如圖,先找到長方形紙的寬$DC的中點E$,將$∠C過點E$折起任意一個角,折痕是$EF$,再將$∠D過點E$折起,使$DE和C'E$重合,折痕是$GE$,請?zhí)剿飨铝袉栴}:
(1)$∠FEC'和∠GEC'$互為余角嗎? 為什么?
(2)$∠GEF$是直角嗎? 為什么?
(3)在上述折紙圖形中,還有哪些角互為余角? 還有哪些角互為補角? 各寫出四對即可.

答案：(1)$∠FEC'$和$∠GEC'$互為余角。理由如下：根據(jù)折疊得$∠3 = ∠1$，$∠4 = ∠2$。因為$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180^{\circ}$，所以$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，即$∠FEC' + ∠GEC' = 90^{\circ}$，故$∠FEC'$和$∠GEC'$互為余角。
(2)$∠GEF$是直角。理由：由(1)知$∠GEF = ∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，所以$∠GEF$是直角。
(3)答案合理即可，如：互余的角有$∠3$和$∠4$，$∠1$和$∠EFC'$，$∠2$和$∠EGC'$，$∠3$和$∠EFC$等；互補的角有$∠AGF$和$∠DGF$，$∠CEC'$和$∠DEC'$，$∠AGE$和$∠EGD$，$∠BFG$和$∠CFG$等。
11. (2025·合肥期末)定義:從一個角的頂點出發(fā),在角的內(nèi)部引兩條射線,如果這兩條射線所成的角與這個角互余,那么這兩條射線所成的角叫作這個角的內(nèi)余角,若射線$OC$,$OD在∠AOB$的內(nèi)部,且$∠COD+∠AOB= 90^{\circ }$,則$∠COD是∠AOB$的內(nèi)余角.
根據(jù)以上信息,解決下面的問題:
(1)如圖①,$∠AOB= 70^{\circ },∠AOC= 20^{\circ }$,若$∠COD是∠AOB$的內(nèi)余角,則$∠BOD= $______
30°
;
(2)如圖②,已知$∠AOB= 50^{\circ }$,將$OA繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α(0^{\circ }＜α＜60^{\circ })得到OC$,同時將$OB繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度\frac {1}{3}α得到OD$.若$∠COB是∠AOD$的內(nèi)余角,求$α$的值;
解：已知$∠AOB = 50^{\circ}$，$OA$繞點$O$沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度$α(0^{\circ}＜α＜60^{\circ})$得到$OC$，$OB$繞點$O$沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度$\frac{1}{3}α$得到$OD$，所以$∠AOC = α$，$∠BOD=\frac{1}{3}α$，所以$∠BOC = ∠AOB - α = 50^{\circ}-α$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 50^{\circ}+\frac{1}{3}α$。因為$∠COB$是$∠AOD$的內(nèi)余角，所以$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$50^{\circ}-α + 50^{\circ}+\frac{1}{3}α = 90^{\circ}$，解得$α = 15^{\circ}$，所以$α$的值為$15^{\circ}$。

(3)把一塊含有$30^{\circ }角的三角板COD$按圖③方式放置,使$OC邊與OA$邊重合,$OD邊與OB$邊重合,如圖④,將三角板$COD繞頂點O$以6度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)時間為$t$秒,在旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi),當射線$OA$,$OB$,$OC$,$OD$構成內(nèi)余角時,請求出$t$的值.
解：根據(jù)題意可得$∠AOB = 30^{\circ}$，三角板$COD$繞頂點$O$以$6$度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為$t$秒。
①當$OC$在$∠AOB$內(nèi)部時，$∠AOC = (6t)^{\circ}$，$∠BOD = (6t)^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 30^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30^{\circ}+(6t)^{\circ}$，當$∠COB$是$∠AOD$的內(nèi)余角時，$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，即$30^{\circ}-(6t)^{\circ}+30^{\circ}+(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，無解；
②當$OC$在射線$OB$下方時，$∠BOC = (6t)^{\circ}-30^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}+30^{\circ}$，當$∠BOC$是$∠AOD$的內(nèi)余角時，$∠BOC + ∠AOD = 90^{\circ}$，即$(6t)^{\circ}-30^{\circ}+(6t)^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 7.5$；
③當$OD$在$OA$上方時，$∠AOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOC = 330^{\circ}-(6t)^{\circ}+60^{\circ}=390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，當$∠AOD$是$∠BOC$的內(nèi)余角時，$∠AOD + ∠BOC = 90^{\circ}$，即$330^{\circ}-(6t)^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 52.5$；
④當$OD$在$∠AOB$內(nèi)部時，$∠AOC = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}-330^{\circ}$，$∠BOC = 390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，當$∠AOD$是$∠BOC$的內(nèi)余角時，$∠AOD + ∠COB = 90^{\circ}$，即$(6t)^{\circ}-330^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，無解。
綜上所述，當射線$OA$，$OB$，$OC$，$OD$構成內(nèi)余角時，$t$的值為$7.5$或$52.5$。

答案：(1)$30^{\circ}$ 解析：因為$∠COD$是$∠AOB$的內(nèi)余角，所以$∠COD + ∠AOB = 90^{\circ}$。因為$∠AOB = 70^{\circ}$，所以$∠COD = 20^{\circ}$。因為$∠AOC = 20^{\circ}$，所以$∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 70^{\circ}-20^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ}$。
(2)已知$∠AOB = 50^{\circ}$，$OA$繞點$O$沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度$α(0^{\circ}＜α＜60^{\circ})$得到$OC$，$OB$繞點$O$沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度$\frac{1}{3}α$得到$OD$，所以$∠AOC = α$，$∠BOD=\frac{1}{3}α$，所以$∠BOC = ∠AOB - α = 50^{\circ}-α$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 50^{\circ}+\frac{1}{3}α$。因為$∠COB$是$∠AOD$的內(nèi)余角，所以$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$50^{\circ}-α + 50^{\circ}+\frac{1}{3}α = 90^{\circ}$，解得$α = 15^{\circ}$，所以$α$的值為$15^{\circ}$。
(3)根據(jù)題意可得$∠AOB = 30^{\circ}$，三角板$COD$繞頂點$O$以$6$度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為$t$秒。
①當$OC$在$∠AOB$內(nèi)部時，如圖①所示，所以$∠AOC = (6t)^{\circ}$，$∠BOD = (6t)^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 30^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30^{\circ}+(6t)^{\circ}$，當$∠COB$是$∠AOD$的內(nèi)余角時，$∠COB + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$30^{\circ}-(6t)^{\circ}+30^{\circ}+(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，無解，所以當$OC$在$∠AOB$內(nèi)部時，射線$OA$，$OB$，$OC$，$OD$不能構成內(nèi)余角；
②當$OC$在射線$OB$下方時，如圖②所示，所以$∠BOC = (6t)^{\circ}-30^{\circ}$，$∠AOD = (6t)^{\circ}+30^{\circ}$，當$∠BOC$是$∠AOD$的內(nèi)余角時，$∠BOC + ∠AOD = 90^{\circ}$，所以$(6t)^{\circ}-30^{\circ}+(6t)^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 7.5$；
③當$OD$在$OA$上方時，如圖③所示，所以$∠AOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOC = ∠AOD + 60^{\circ}=330^{\circ}-(6t)^{\circ}+60^{\circ}=390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，當$∠AOD$是$∠BOC$的內(nèi)余角時，$∠AOD + ∠BOC = 90^{\circ}$，所以$330^{\circ}-(6t)^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，解得$t = 52.5$；
④當$OD$在$∠AOB$內(nèi)部時，如圖④所示，所以$∠AOC = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠BOD = 360^{\circ}-(6t)^{\circ}$，$∠AOD = 30^{\circ}-∠COA = 30^{\circ}-[360^{\circ}-(6t)^{\circ}]=(6t)^{\circ}-330^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 390^{\circ}-(6t)^{\circ}$，當$∠AOD$是$∠BOC$的內(nèi)余角時，$∠AOD + ∠COB = 90^{\circ}$，所以$(6t)^{\circ}-330^{\circ}+390^{\circ}-(6t)^{\circ}=90^{\circ}$，無解，所以當$OD$在$∠AOB$內(nèi)部時，射線$OA$，$OB$，$OC$，$OD$不能構成內(nèi)余角。
綜上所述，當射線$OA$，$OB$，$OC$，$OD$構成內(nèi)余角時，$t$的值為$7.5$或$52.5$。
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