10. 如圖所示,已知$∠AOC= ∠BOD= 80^{\circ}$,$∠BOC= 30^{\circ}$,則$∠AOD$的度數(shù)為
130°
.
答案：130° 解析:因?yàn)椤螦OC=80°,∠BOC=30°,所以∠AOB=∠AOC?∠BOC=80°?30°=50°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+80°=130°。
11. 若$∠α=22^{\circ}15',∠β滿(mǎn)足3∠α-∠β= 180^{\circ}-3∠β$,則$∠β=$
56°37′30''
.
答案：56°37′30''
解析：
解：由題意得，$3∠α - ∠β = 180^{\circ} - 3∠β$，
移項(xiàng)可得：$3∠β - ∠β = 180^{\circ} - 3∠α$，
即$2∠β = 180^{\circ} - 3∠α$，
因?yàn)?∠α = 22^{\circ}15'$，
所以$3∠α = 3×22^{\circ}15' = 66^{\circ}45'$，
則$2∠β = 180^{\circ} - 66^{\circ}45' = 113^{\circ}15'$，
所以$∠β = 113^{\circ}15'÷2 = 56^{\circ}37'30''$。
$56^{\circ}37'30''$
12. (2024·儀征期末)小正方形網(wǎng)格如圖所示,點(diǎn)A,B,C,D,O均為格點(diǎn),那么$∠AOB$______$∠COD$.(填“＞”“＜”或“=”)
答案：＞解析:如圖,取格點(diǎn)E,使OA=OE,作射線(xiàn)OE,根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn),易得∠AOB=∠DOE,因?yàn)椤螪OE＞∠COD,所以∠AOB＞∠COD
13. 觀察下圖,回答下列問(wèn)題:
(1)如圖①,在$∠AOB$內(nèi)部畫(huà)1條射線(xiàn)OC,則圖中有
3
個(gè)不同的角;
(2)如圖②,在$∠AOB$內(nèi)部畫(huà)2條射線(xiàn)OC,OD,則圖中有
6
個(gè)不同的角;
(3)如圖③,在$∠AOB$內(nèi)部畫(huà)3條射線(xiàn)OC,OD,OE,則圖中有
10
個(gè)不同的角;
(4)在$∠AOB$內(nèi)部畫(huà)10條射線(xiàn)OC,OD,OE,…,則圖中有
66
個(gè)不同的角;
(5)在$∠AOB$內(nèi)部畫(huà)n條射線(xiàn)OC,OD,OE,…,則圖中有
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
個(gè)不同的角.
答案：(1)3 (2)6 (3)10 (4)66 (5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$解析:在∠AOB內(nèi)部畫(huà)n條射線(xiàn)OC,OD,OE,…,則圖中有1+2+3+…+n+(n+1)=$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$(個(gè))不同的角，故答案為$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
解析：
(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
14. 以$∠AOB$的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)引射線(xiàn)OC,使$∠AOC:∠BOC= 5:4$,若$∠AOB= 27^{\circ}$,求$∠AOC$的度數(shù).(本題中的角均為小于$180^{\circ}$的角)
答案：①如圖①,當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí),設(shè)∠AOC=5x,∠BOC=4x,因?yàn)椤螦OB=∠AOC+∠BOC=27°,所以5x+4x=27°,解得x=3°,所以∠AOC=15°。
?、谌鐖D②,當(dāng)射線(xiàn)OC在∠AOB的外部時(shí),設(shè)∠AOC=5x,∠BOC=4x,因?yàn)椤螦OC=∠AOB+∠BOC,∠AOB=27°,所以5x=27°+4x,解得x=27°,所以∠AOC=135°。 故∠AOC的度數(shù)為15°或135°。
15. (1)中午12點(diǎn)15分時(shí),鐘表上的時(shí)針和分針?biāo)傻妮^小角是
82.5
$^{\circ}$.
(2)在2點(diǎn)到4點(diǎn)之間,時(shí)針和分針的夾角會(huì)有成$90^{\circ}$的情形,則滿(mǎn)足條件的時(shí)間點(diǎn)一共有
3
個(gè).
答案：(1)82.5 解析:因?yàn)殓姳砩弦还灿?2個(gè)大格，所以每個(gè)大格30°。因?yàn)闀r(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°,分針每分鐘轉(zhuǎn)6°,所以12點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針指向12與1之間，分針指向3,所以分針與時(shí)針的夾角(較小角)是6°×15?0.5°×15=82.5°?！ ?2)3 解析:2時(shí)和3時(shí)之間時(shí),設(shè)2時(shí)x分,時(shí)針和分針的夾角會(huì)成90°,則6x?(60+0.5x)=90或6x?(60+0.5x)=270,解得x=$\frac{300}{11}$或x=60(舍去)，即2時(shí)$\frac{300}{11}$分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角會(huì)成90°；3時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角為90°；3時(shí)和4時(shí)之間時(shí)，設(shè)3時(shí)x分，時(shí)針和分針的夾角會(huì)成90°,則6x?(90+0.5x)=90,解得x=$\frac{360}{11}$,即3時(shí)$\frac{360}{11}$分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角會(huì)成90°。綜上,2時(shí)$\frac{300}{11}$分或3時(shí)整或3時(shí)$\frac{360}{11}$分時(shí),時(shí)針和分針的夾角會(huì)成90°。故有3個(gè)時(shí)間點(diǎn)。
解析：
(1)82.5
解：鐘表每個(gè)大格30°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°。
12點(diǎn)15分時(shí)，分針位置：6°×15=90°，
時(shí)針位置：0.5°×15=7.5°，
較小夾角：90°-7.5°=82.5°。
(2)3
解：
①2點(diǎn)到3點(diǎn)間：設(shè)2時(shí)x分夾角90°，
6x - (60 + 0.5x) = 90 或 6x - (60 + 0.5x) = 270，
解得x=300/11（x=60舍去），即2時(shí)300/11分；
②3點(diǎn)整：時(shí)針與分針夾角90°；
③3點(diǎn)到4點(diǎn)間：設(shè)3時(shí)x分夾角90°，
6x - (90 + 0.5x) = 90，解得x=360/11，即3時(shí)360/11分。
綜上，共3個(gè)時(shí)間點(diǎn)。
16. 圖①是由一副三角尺拼成的圖案,根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)圖①中,$∠EBC$的度數(shù)為_(kāi)_____
150°
.
(2)能否將圖①中的三角尺ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度$(0^{\circ}＜α＜90^{\circ}$,如圖②),使旋轉(zhuǎn)后的$∠ABE= 2∠DBC$?若能,求出α的度數(shù);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
能。第一種情況:若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°＜α＜60°),根據(jù)題意得90°?α=2(60°?α),得α=30°;第二種情況,若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(60°≤α＜90°),根據(jù)題意得90°?α=2(α?60°),得α=70°,故α為30°或70°。
(3)能否將圖①中的三角尺ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度$(0^{\circ}＜α＜90^{\circ}$,如圖③),使旋轉(zhuǎn)后的$∠ABE= 2∠DBC$?請(qǐng)直接回答,不必說(shuō)明理由.
不能
答案：(1)150°解析:∠EBC=∠ABC+∠EBD=60°+90°=150°?！ ?2)能。第一種情況:若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°＜α＜60°),根據(jù)題意得90°?α=2(60°?α),得α=30°;第二種情況,若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(60°≤α＜90°),根據(jù)題意得90°?α=2(α?60°),得α=70°,故α為30°或70°?！ ?3)不能。解析:理由如下:若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度,根據(jù)題意得90°+α=2(60°+α),得α=?30°。因?yàn)?°＜α＜90°,所以α=?30°不符合題意,故不能。
解析：
(1)150°
(2)能。
第一種情況：0°＜α＜60°時(shí)，90°-α=2(60°-α)，解得α=30°；
第二種情況：60°≤α＜90°時(shí)，90°-α=2(α-60°)，解得α=70°；
故α為30°或70°。
(3)不能
