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3. (2025·重慶期末) 如圖, $ P $ 是定長(zhǎng)線段 $ A B $ 上一點(diǎn), $ C, D $ 兩點(diǎn)分別從 $ P, B $ 出發(fā)以 $ 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $、 $ 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $ 的速度沿直線 $ A B $ 向左運(yùn)動(dòng) ($ C $ 在線段 $ A P $ 上, $ D $ 在線段 $ B P $ 上).
(1) 若 $ C, D $ 運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí), 總有 $ P D= 2 A C $, 請(qǐng)說(shuō)明 $ A P= \frac{1}{3} A B $.
(2) 在 (1) 的條件下, $ Q $ 是直線 $ A B $ 上一點(diǎn), 且 $ A Q-B Q= P Q $, 求 $ \frac{P Q}{A B} $ 的值.
(3) 在 (1) 的條件下, 若 $ C, D $ 運(yùn)動(dòng) $ 5 \mathrm{~s} $ 后, 恰好有 $ C D= \frac{1}{2} A B $, 此時(shí)點(diǎn) $ C $ 停止運(yùn)動(dòng), 點(diǎn) $ D $ 繼續(xù)運(yùn)動(dòng) (點(diǎn) $ D $ 在線段 $ P B $ 上), $ M, N $ 分別是 $ C D, P D $ 的中點(diǎn), 下列結(jié)論: (1) $ P M-P N $ 的值不變; (2) $ \frac{M N}{A B} $ 的值不變. 只有一個(gè)結(jié)論是正確的, 請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值.

答案：3. (1) 設(shè) $ C $，$ D $ 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 $ t \, \text{s} $。因?yàn)?$ PD = 2AC $，$ PB - BD = 2(AP - PC) $，所以 $ PB - 2t = 2(AP - t) $，所以 $ PB = 2AP $，所以 $ \frac{PB}{AP} = 2 $，所以 $ AP = \frac{1}{3}AB $。
(2) 當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 在線段 $ AB $ 上時(shí)，因?yàn)?$ AQ - BQ = PQ $，所以 $ AQ = PQ + BQ $。因?yàn)?$ AQ = AP + PQ $，所以 $ AP = BQ $，所以 $ PQ = \frac{1}{3}AB $，所以 $ \frac{PQ}{AB} = \frac{1}{3} $；當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 在線段 $ AB $ 的延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)?$ AQ - AP = PQ $，所以 $ AQ - BQ = PQ = AB $，所以 $ \frac{PQ}{AB} = 1 $。綜上，$ \frac{PQ}{AB} $ 的值為 $ \frac{1}{3} $ 或 $ 1 $。
(3) ②的結(jié)論正確，理由如下：
若 $ C $，$ D $ 運(yùn)動(dòng) $ 5 \, \text{s} $ 后，則 $ PC = 1 × 5 = 5 \, \text{cm} $，$ BD = 2 × 5 = 10 \, \text{cm} $，由 (1) 知 $ PD = 2AC $，設(shè) $ AC = x \, \text{cm} $，則 $ PD = 2x \, \text{cm} $。
因?yàn)?$ CD = \frac{1}{2}AB $，所以 $ 5 + 2x = \frac{1}{2}(5 + 10 + 3x) $，解得 $ x = 5 $，所以 $ AB = 30 $，當(dāng) $ M $，$ N $ 分別是 $ CD $，$ PD $ 的中點(diǎn)時(shí)，$ \frac{MN}{AB} $ 的值不變。
設(shè)當(dāng)點(diǎn) $ C $ 停止后點(diǎn) $ D $ 繼續(xù)運(yùn)動(dòng) $ t \, \text{s} $，則 $ CP = 5 \, \text{cm} $，$ BD = (10 + 2t) \, \text{cm} $，$ PD = (10 - 2t) \, \text{cm} $，$ PN = \frac{1}{2}(10 - 2t) = 5 - t $，所以 $ CN = CP + PN = 5 + (5 - t) = (10 - t) \, \text{cm} $，$ CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(CP + PD) = \left( \frac{15}{2} - t \right) \, \text{cm} $，所以 $ MN = CN - CM = (10 - t) - \left( \frac{15}{2} - t \right) = \frac{5}{2} \, \text{cm} $，所以 $ \frac{MN}{AB} = \frac{1}{12} $。

4. 如圖, 數(shù)軸上點(diǎn) $ A $ 在原點(diǎn) $ O $ 左側(cè), 點(diǎn) $ B $ 在原點(diǎn) $ O $ 右側(cè), 且 $ O A= 2 O B $, 動(dòng)點(diǎn) $ P, Q $ 分別從 $ A, B $ 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā), 都向右運(yùn)動(dòng), 點(diǎn) $ P $ 的速度為每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度, 點(diǎn) $ Q $ 的速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度, 當(dāng)點(diǎn) $ P $ 與點(diǎn) $ Q $ 重合時(shí), $ P, Q $ 兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 $ t \mathrm{~s} $.
(1) 若點(diǎn) $ A $ 表示的數(shù)為 $ -12 $, 則點(diǎn) $ B $ 表示的數(shù)為

, 線段 $ A B $ 的中點(diǎn)表示的數(shù)為

-3

;
(2) 在 (1) 的條件下, 若 $ 2 O P-O Q= \frac{1}{2} A B $, 求 $ t $ 的值;

當(dāng)點(diǎn) $ P $，$ Q $ 相遇時(shí)，$ t = (12 + 6) ÷ (2 - 1) = 18 \, \text{s} $，所以 $ t \leq 18 $。$ \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9 $。當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在 $ AO $ 上時(shí)，$ OP = 12 - 2t $，$ OQ = 6 + t $，因?yàn)?$ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(12 - 2t) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = \frac{9}{5} $，符合題意；當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在原點(diǎn) $ O $ 右側(cè)時(shí)，$ OP = 2t - 12 $，$ OQ = 6 + t $，因?yàn)?$ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(2t - 12) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = 13 $，符合題意。綜上所述，若 $ 2OP - OQ = \frac{1}{2}AB $，則 $ t $ 的值為 $ \frac{9}{5} $ 或 $ 13 $。

(3) 當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在線段 $ A O $ 上運(yùn)動(dòng)時(shí), 若 $ |A P-B P|= O P $, 請(qǐng)?zhí)骄烤€段 $ O P $ 與線段 $ A B $ 之間的數(shù)量關(guān)系, 并說(shuō)明理由.

$ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。理由如下: 設(shè)線段 $ OB $ 的長(zhǎng)為 $ b $，則 $ OA = 2b $，$ AB = 3b $。因?yàn)辄c(diǎn) $ P $ 在線段 $ AO $ 上運(yùn)動(dòng)，所以 $ AP = 2t $，$ OP = 2b - 2t $，$ BP = AB - AP = 3b - 2t $。若 $ AP ＜ BP $，則 $ |AP - BP| = BP - AP $，所以 $ BP - AP = OP $，所以 $ (3b - 2t) - 2t = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{1}{2}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - b = b $。又因?yàn)?$ AB = 3b $，所以 $ AB = 3OP $。若 $ AP ＞ BP $，則 $ |AP - BP| = AP - BP $，所以 $ AP - BP = OP $，所以 $ 2t - (3b - 2t) = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{5}{6}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - \frac{5}{3}b = \frac{1}{3}b $。因?yàn)?$ AB = 3b $，所以 $ AB = 9OP $。綜上所述，線段 $ OP $ 與線段 $ AB $ 之間的數(shù)量關(guān)系為 $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。

答案：4. (1) 6 -3 解析: 因?yàn)辄c(diǎn) $ A $ 表示的數(shù)為 $ -12 $，$ OA = 2OB $，所以 $ OA = 12 $，$ OB = 6 $，所以點(diǎn) $ B $ 表示的數(shù)為 $ 6 $，且 $ AB = 18 $，所以線段 $ AB $ 中點(diǎn)表示的數(shù)為 $ -3 $。
(2) 當(dāng)點(diǎn) $ P $，$ Q $ 相遇時(shí)，$ t = (12 + 6) ÷ (2 - 1) = 18 \, \text{s} $，所以 $ t \leq 18 $。$ \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9 $。當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在 $ AO $ 上時(shí)，$ OP = 12 - 2t $，$ OQ = 6 + t $，因?yàn)?$ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(12 - 2t) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = \frac{9}{5} $，符合題意；當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在原點(diǎn) $ O $ 右側(cè)時(shí)，$ OP = 2t - 12 $，$ OQ = 6 + t $，因?yàn)?$ 2OP - OQ = 9 $，所以 $ 2(2t - 12) - (6 + t) = 9 $，解得 $ t = 13 $，符合題意。綜上所述，若 $ 2OP - OQ = \frac{1}{2}AB $，則 $ t $ 的值為 $ \frac{9}{5} $ 或 $ 13 $。
(3) $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。理由如下: 設(shè)線段 $ OB $ 的長(zhǎng)為 $ b $，則 $ OA = 2b $，$ AB = 3b $。因?yàn)辄c(diǎn) $ P $ 在線段 $ AO $ 上運(yùn)動(dòng)，所以 $ AP = 2t $，$ OP = 2b - 2t $，$ BP = AB - AP = 3b - 2t $。若 $ AP ＜ BP $，則 $ |AP - BP| = BP - AP $，所以 $ BP - AP = OP $，所以 $ (3b - 2t) - 2t = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{1}{2}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - b = b $。又因?yàn)?$ AB = 3b $，所以 $ AB = 3OP $。若 $ AP ＞ BP $，則 $ |AP - BP| = AP - BP $，所以 $ AP - BP = OP $，所以 $ 2t - (3b - 2t) = 2b - 2t $，解得 $ t = \frac{5}{6}b $，所以 $ OP = 2b - 2t = 2b - \frac{5}{3}b = \frac{1}{3}b $。因?yàn)?$ AB = 3b $，所以 $ AB = 9OP $。綜上所述，線段 $ OP $ 與線段 $ AB $ 之間的數(shù)量關(guān)系為 $ AB = 3OP $ 或 $ AB = 9OP $。

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