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答案：1. (1) 120 解析: 因?yàn)?$ AB + BC = AC $，所以 $ AC = 320 \, \text{cm} $。因?yàn)辄c(diǎn) $ D $ 是線段 $ AC $ 的中點(diǎn)，所以 $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 320 = 160 \, \text{cm} $，所以 $ BD = AD - AB = 160 - 40 = 120 \, \text{cm} $。故答案為 120。
(2) ①設(shè)點(diǎn) $ P $ 出發(fā) $ t \, \text{s} $ 后追上點(diǎn) $ Q $，由題意得 $ 3t = t + 40 $，解得 $ t = 20 $，所以點(diǎn) $ P $ 出發(fā) $ 20 \, \text{s} $ 后追上點(diǎn) $ Q $。
②當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在點(diǎn) $ Q $ 的左側(cè)時(shí)，$ 3t + 20 = 40 + t $，解得 $ t = 10 $；當(dāng)點(diǎn) $ P $ 在點(diǎn) $ Q $ 的右側(cè)時(shí)，$ 3t = 40 + t + 20 $，解得 $ t = 30 $，所以點(diǎn) $ P $ 出發(fā) $ 10 \, \text{s} $ 或 $ 30 \, \text{s} $ 后與點(diǎn) $ Q $ 的距離是 $ 20 \, \text{cm} $。

答案：
2.
(1) 由題可知，$ BP = t $，$ CQ = 2t $，因?yàn)?$ BC = 4 $，所以 $ 2t = t + 4 $，解得 $ t = 4 $，即當(dāng) $ t = 4 $ 時(shí)，點(diǎn) $ Q $ 追上點(diǎn) $ P $。
(2) 存在，因?yàn)?$ BC = 2AB $，$ BC = 4 $，所以 $ AB = 2 $，如圖，以 $ B $ 為原點(diǎn)建立數(shù)軸，則 $ A $ 表示的數(shù)為 $ -2 $，$ C $ 表示的數(shù)為 $ 4 $，所以動點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)為 $ -t $，$ Q $ 表示的數(shù)為 $ 4 - 2t $，所以點(diǎn) $ D $ 表示的數(shù)為 $ \frac{-t + 4 - 2t}{2} = 2 - \frac{3}{2}t $，所以 $ PD = \left| 2 - \frac{1}{2}t \right| $，$ PA = |2 - t| $，則 $ S = k \cdot PD - PA = k \cdot \left| 2 - \frac{1}{2}t \right| - |2 - t| $，令 $ 2 - \frac{1}{2}t = 0 $，解得 $ t = 4 $，令 $ 2 - t = 0 $，解得 $ t = 2 $。
①當(dāng) $ 0 ＜ t ＜ 2 $ 時(shí)，$ S = k \left( 2 - \frac{1}{2}t \right) - (2 - t) = \left( 1 - \frac{1}{2}k \right)t + 2k - 2 $，當(dāng) $ 1 - \frac{1}{2}k = 0 $，即 $ k = 2 $ 時(shí)，$ S = 2 $ 是定值；
②當(dāng) $ 2 \leq t \leq 4 $ 時(shí)，$ S = k \left( 2 - \frac{1}{2}t \right) - (t - 2) = \left( -1 - \frac{1}{2}k \right)t + 2k + 2 $，當(dāng) $ -1 - \frac{1}{2}k = 0 $，即 $ k = -2 $ 時(shí)，$ S = -2 $ 為定值；
③當(dāng) $ t ＞ 4 $ 時(shí)，$ S = k \left( \frac{1}{2}t - 2 \right) - (t - 2) = \left( \frac{1}{2}k - 1 \right)t - 2k + 2 $，當(dāng) $ \frac{1}{2}k - 1 = 0 $，即 $ k = 2 $ 時(shí)，$ S = -2 $ 為定值。綜上所述，$ k = \pm 2 $ 時(shí)，$ S $ 為定值。