10. 如圖,C 為線段 AB 上一點,D 為線段 AC 的中點,E 為線段 CB 的中點.
(1)如果 $ AC = 6cm $, $ BC = 4cm $,試求 DE 的長.
(2)如果 $ AB = a cm $,試求 DE 的長度.
(3)若 C 在線段 AB 的延長線上,且滿足 $ AC - BC = b cm $,D,E 分別為 AC,BC 的中點,你能猜想 DE 的長度嗎? 寫出你的結(jié)論,并說明理由.
答案：(1)因為點D,E分別是線段AC,BC的中點,AC=6cm,BC=4cm,所以CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3(cm),CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2(cm),所以DE=CD+CE=3+2=5(cm).
(2)因為點D,E分別是線段AC,BC的中點，所以CD=$\frac{1}{2}$AC,CE=$\frac{1}{2}$BC,所以DE=CD+CE=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a(cm).
(3)猜想:DE=$\frac{1}{2}$b cm.理由如下:如圖,因為點D,E分別是線段AC,BC的中點,所以CD=$\frac{1}{2}$AC,CE=$\frac{1}{2}$BC,所以DE=CD?CE=$\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC?BC)=$\frac{1}{2}$b(cm).
11. 在同一條直線上有 A,B,C,D 四點(A,B,C 三點依次從左到右排列),已知 $ AD = \frac{3}{5}BD $, $ AC = 3CB $,且 $ CD = 6cm $,求 AB 的長.
答案：分為兩種情況:(1)如圖①,當(dāng)D在線段AB上時，
設(shè)AB=2xcm,則BC=xcm,因為AD=$\frac{3}{5}$BD,所以BD=$\frac{5}{8}$AB=$\frac{5}{4}$x cm.因為CD=BD+BC=6cm,所以$\frac{5}{4}$x + x = 6,解得x=$\frac{8}{3}$,所以AB=2x=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$(cm).
(2)如圖②,當(dāng)D在線段BA的延長線上時，
設(shè)AB=2acm,則BC=a cm.因為AD=$\frac{3}{5}$BD,所以AD=$\frac{3}{2}$AB,所以BD=AD+AB=$\frac{3}{2}$AB+AB=$\frac{5}{2}$AB=5a cm.因為CD=BD+BC=6cm,所以5a + a = 6,解得a = 1,所以AB=2a=2×1=2(cm).綜上,AB=$\frac{16}{3}$cm或2cm.
12. 如圖,已知數(shù)軸上有兩點 A,B,它們對應(yīng)的數(shù)分別為 a,b,其中 $ a = 12 $.
(1)在點 B 的左側(cè)作線段 $ BC = AB $,在點 B 的右側(cè)作線段 $ BD = 3AB $(要求尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)若點 C 對應(yīng)的數(shù)為 c,點 D 對應(yīng)的數(shù)為 d,且 $ AB = 20 $,求 c,d 的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點 M 是 BD 的中點,N 是數(shù)軸上一點,且 $ CN = 2DN $,請直接寫出 MN 的長.
答案：(1)如圖，線段BC,BD為所求線段.
(2)因為AB=20,BC=AB,BD=3AB,所以AC=2AB=2×20=40,AD=2AB=2×20=40.因為a=12,所以c=12?40=?28,d=12+40=52.
(3)$\frac{10}{3}$或110解析:分情況討論:①點N在線段CD上,由(2)得CD=52?(?28)=80,點B對應(yīng)的數(shù)為12?20=?8,所以BD=52?(?8)=60.因為點M是BD的中點,所以點M對應(yīng)的數(shù)為52?30=22.因為CN=2DN,所以DN=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{80}{3}$,所以點N對應(yīng)的數(shù)為52 - $\frac{80}{3}$=$\frac{76}{3}$,所以MN=$\frac{76}{3}$?22=$\frac{10}{3}$②點N在線段CD的延長線上,因為CN=2DN,所以DN=CD=80,所以點N對應(yīng)的數(shù)為52+80=132,所以MN=132?22=110.綜合①②知,MN的長為$\frac{10}{3}$或110.
13. 如圖,點 C 是線段 AB 上的一點,線段 $ AC = 8 $, $ BC = \frac{3}{2}AC $,點 D 為線段 AB 的中點.
(1)求線段 AB 和 CD 的長.
(2)若動點 P 從點 A 出發(fā),以每秒 1 個單位長度的速度沿線段 AB 向右運動,動點 Q 從點 B 出發(fā),以每秒 3 個單位長度的速度沿線段 BA 向左運動,當(dāng)點 Q 到達點 A 時立即掉頭沿線段 AB 向右運動,當(dāng)點 Q 再次回到點 B 時,動點 P,Q 同時停止運動.設(shè)運動時間為 t 秒.
①當(dāng) t 為何值時,點 P 與點 Q 重合?
②當(dāng) t 為何值時,點 P 與點 Q 之間的距離 $ PQ = 4 $?
答案：(1)因為AC=8,BC=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×8=12,所以AB=AC+BC=20.因為點D為線段AB的中點,所以AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=10,所以CD=AD?AC=10?8=2.
(2)①由題意可知,t≤$\frac{40}{3}$,點P與點Q重合有兩種情況:一種是點Q從B到A向左運動時，另一種是點Q到達點A后掉頭向右運動時.當(dāng)點Q向左運動時,t+3t=20,解得t=5.當(dāng)點Q向右運動時,3t?t=20,解得t=10.故當(dāng)t=5或t=10時,點P與點Q重合.
②當(dāng)動點P,Q沒有相遇且兩點相距4時,有t+3t+4=20,解得t=4;當(dāng)動點P,Q第一次相遇后，點P向右運動，點Q向左運動，兩點相距4時,有t+3t?4=20,解得t=6;當(dāng)動點P,Q第一次相遇后第二次相遇前，點P向右運動，點Q向右運動，兩點相距4時，有3t+4?20=t,解得t=8;當(dāng)動點P,Q第二次相遇后,點P向右運動,點Q 向右運動,兩點相距4時,有3t?20?t=4,解得t=12.綜上所述,滿足條件的t有t=4或t=6或t=8或t=12.
