10. 如圖,點(diǎn) $ C,D $ 為線段 $ AB $ 上兩點(diǎn), $ AC + BD = a $,若 $ AD + BC = \frac{7}{5}AB $,用含 $ a $ 的式子表示 $ CD $ 的長為 (
B
)
A.$ \frac{2}{5}a $
B.$ \frac{2}{3}a $
C.$ \frac{5}{3}a $
D.$ \frac{5}{7}a $
答案：B 解析：因?yàn)?AD + BC = \frac{7}{5}AB$，所以$AC + CD + CD + DB = \frac{7}{5}(AC + CD + DB)$。因?yàn)?AC + BD = a$，所以$a + 2CD = \frac{7}{5}(a + CD)$，所以$CD = \frac{2}{3}a$。故選B。
11. (2025·寧波期末)已知點(diǎn) $ C $ 是線段 $ AB $ 的中點(diǎn),點(diǎn) $ D $ 分線段 $ AB $ 的長度為 $ 5:3 $.已知 $ CD = 7cm $,則 $ AD $ 的長為______ $ cm $.
答案：35或21 解析：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以$AC = \frac{1}{2}AB$。因?yàn)辄c(diǎn)D分線段AB的長度為$5:3$。當(dāng)$AD:DB = 5:3$時，如圖①，所以此時AD占AB的$\frac{5}{5 + 3} = \frac{5}{8}$，即$AD = \frac{5}{8}AB$，所以$CD = AD - AC = \frac{5}{8}AB - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{8}AB$。因?yàn)?CD = 7cm$，所以$AB = 7×8 = 56(cm)$，所以$AD = \frac{5}{8}AB = \frac{5}{8}×56 = 35(cm)$。
當(dāng)$AD:DB = 3:5$時，如圖②，此時AD占AB的$\frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}$，即$AD = \frac{3}{8}AB$，所以$CD = AC - AD = \frac{1}{2}AB - \frac{3}{8}AB = \frac{1}{8}AB$。因?yàn)?CD = 7cm$，所以$AB = 7×8 = 56(cm)$，所以$AD = \frac{3}{8}AB = \frac{3}{8}×56 = 21(cm)$。故答案為35或21。易錯提醒求線段的長時，如果題目中沒有給出圖形，那么一定要畫出所有可能的圖形，分情況討論去計(jì)算，以防漏解。本題中需對點(diǎn)D的位置進(jìn)行分類討論。
12. 新題型 雙空題 有一無彈性細(xì)線,拉直時測得細(xì)線 $ OP $ 長為 $ 8cm $,現(xiàn)進(jìn)行如下操作:①在細(xì)線上任取一點(diǎn) $ A $;②將細(xì)線折疊,使點(diǎn) $ O $ 與點(diǎn) $ A $ 重合,記折點(diǎn)為點(diǎn) $ B $;③將細(xì)線折疊,使點(diǎn) $ P $ 與點(diǎn) $ A $ 重合,記折點(diǎn)為點(diǎn) $ C $.
(1) 如圖, $ BC $ 的長為______ $ cm $;
(2) 繼續(xù)進(jìn)行折疊,使點(diǎn) $ B $ 與點(diǎn) $ C $ 重合,并把點(diǎn) $ B $ 和與其重疊的點(diǎn) $ C $ 處的細(xì)線剪開,使細(xì)線分成長為 $ a,b,c $ 的三段 $ (a ＜ b ＜ c) $, 若 $ a:b = 1:3 $, 則細(xì)線未剪開時 $ OA $ 的長為______ $ cm $.
(1)
4
(2)
2或6
答案：(1)4 (2)2或6 解析：因?yàn)?a ＜ b ＜ c$，細(xì)線剪開后分成OB，BC，CP三段，所以$BC = c$。當(dāng)$OB = a$時，$CP = b$，因?yàn)?OB + CP = 8 - 4 = 4(cm)$，所以$a + b = 4cm$。因?yàn)?a:b = 1:3$，所以$a = 1cm$，$b = 3cm$，所以$OA = 2a = 2cm$；當(dāng)$OB = b$時，$CP = a$，因?yàn)?OB + CP = 8 - 4 = 4(cm)$，所以$a + b = 4cm$。因?yàn)?a:b = 1:3$，所以$a = 1cm$，$b = 3cm$，所以$OA = 2b = 6cm$。故答案為2或6。
解析：
(1) 4
(2) 解：由題意，細(xì)線剪開后分成OB，BC，CP三段，且BC=4cm。
情況一：OB=a，CP=b。
因?yàn)镺B+CP=8-4=4cm，a:b=1:3，
設(shè)a=x，b=3x，則x+3x=4，解得x=1。
所以a=1cm，OA=2OB=2×1=2cm。
情況二：OB=b，CP=a。
因?yàn)镺B+CP=8-4=4cm，a:b=1:3，
設(shè)a=x，b=3x，則x+3x=4，解得x=1。
所以b=3cm，OA=2OB=2×3=6cm。
綜上，OA的長為2或6cm。
答案：(1)4；(2)2或6
13. 如圖,線段 $ AB = 20cm $,線段 $ AB $ 上有一點(diǎn) $ C $, $ BC:AC = 1:4 $,點(diǎn) $ D $ 是線段 $ AB $ 的中點(diǎn),點(diǎn) $ E $ 是線段 $ AC $ 的中點(diǎn).求:
(1) 線段 $ AC $ 的長度;
(2) 線段 $ DE $ 的長度.
答案：(1)因?yàn)?AB = 20cm$，$BC:AC = 1:4$，所以$BC = \frac{1}{1 + 4}AB = \frac{1}{5}AB = 4cm$，$AC = 16cm$。(2)因?yàn)辄c(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，所以$BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×20 = 10(cm)$，所以$CD = BD - BC = 10 - 4 = 6(cm)$。因?yàn)辄c(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，所以$CE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×16 = 8(cm)$，所以$DE = CE - CD = 8 - 6 = 2(cm)$。
14. 如圖, $ C $ 為線段 $ AB $ 上一點(diǎn), $ D $ 在線段 $ AC $ 上,且 $ AD = \frac{2}{3}AC $, $ E $ 為線段 $ BC $ 的中點(diǎn).
(1) 若 $ AC = 6 $, $ BE = 1 $,求線段 $ AB,DE $ 的長;
(2) 試說明: $ AB + BD = 4DE $.
答案：(1)因?yàn)镋為線段BC的中點(diǎn)，$BE = 1$，所以$BC = 2BE = 2$，$CE = BE = 1$。因?yàn)?AC = 6$，所以$AB = AC + BC = 6 + 2 = 8$。因?yàn)?AD = \frac{2}{3}AC$，$AC = 6$，所以$AD = 4$，所以$DC = AC - AD = 6 - 4 = 2$，所以$DE = DC + CE = 2 + 1 = 3$。(2)因?yàn)?AB = AC + BC$，$BD = BC + CD$，所以$AB + BD = AC + BC + BC + CD$。因?yàn)?AD = \frac{2}{3}AC$，E為線段BC的中點(diǎn)，所以$AC = 3CD$，$BC = 2CE$，所以$AB + BD = AC + BC + BC + CD = 3CD + 2CE + 2CE + CD = 4CD + 4CE = 4(CD + CE) = 4DE$。
解析：
(1)
∵E為線段BC的中點(diǎn)，BE=1，
∴BC=2BE=2×1=2，CE=BE=1。
∵AC=6，
∴AB=AC+BC=6+2=8。
∵AD=2/3AC，AC=6，
∴AD=2/3×6=4，
∴DC=AC-AD=6-4=2，
∴DE=DC+CE=2+1=3。
(2)
∵AB=AC+BC，BD=BC+CD，
∴AB+BD=AC+BC+BC+CD。
∵AD=2/3AC，
∴AC=3CD。
∵E為線段BC的中點(diǎn)，
∴BC=2CE。
∴AB+BD=3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE。
即AB+BD=4DE。
15. 新題型 新定義 如圖①,點(diǎn) $ C $ 在線段 $ AB $ 上,圖中共有 3 條線段: $ AB,AC $ 和 $ BC $, 若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍,則稱點(diǎn) $ C $ 是線段 $ AB $ 的“二倍點(diǎn)”.
(1) 一條線段的中點(diǎn)
是
這條線段的“二倍點(diǎn)”.(填“是”或“不是”)
(2) 如圖②,點(diǎn) $ A $ 表示數(shù) $ -10 $,點(diǎn) $ B $ 表示數(shù) $ 20 $.若點(diǎn) $ M $ 從點(diǎn) $ B $ 的位置開始,以每秒 $ 3cm $ 的速度向點(diǎn) $ A $ 運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn) $ M $ 到達(dá)點(diǎn) $ A $ 時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為 $ t s $.
① 點(diǎn) $ M $ 在運(yùn)動的過程中表示的數(shù)為
$20 - 3t$
(用含 $ t $ 的式子表示).
② 求 $ t $ 為何值時,點(diǎn) $ M $ 是線段 $ AB $ 的“二倍點(diǎn)”.
③ 若點(diǎn) $ M $ 運(yùn)動的同時點(diǎn) $ N $ 從點(diǎn) $ A $ 的位置開始,以每秒 $ 2cm $ 的速度向點(diǎn) $ B $ 運(yùn)動,并與點(diǎn) $ M $ 同時停止.請直接寫出點(diǎn) $ M $ 是線段 $ AN $ 的“二倍點(diǎn)”時 $ t $ 的值.
②當(dāng)$AM = 2BM$時，$30 - 3t = 2×3t$，解得$t = \frac{10}{3}$；當(dāng)$AB = 2AM$時，$30 = 2×(30 - 3t)$，解得$t = 5$；當(dāng)$BM = 2AM$時，$3t = 2×(30 - 3t)$，解得$t = \frac{20}{3}$。綜上，t為$\frac{10}{3}$或5或$\frac{20}{3}$時，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”。
③t為$\frac{15}{2}$或$\frac{90}{13}$或$\frac{90}{11}$。
答案：(1)是 (2)①$20 - 3t$ ②當(dāng)$AM = 2BM$時，$30 - 3t = 2×3t$，解得$t = \frac{10}{3}$；當(dāng)$AB = 2AM$時，$30 = 2×(30 - 3t)$，解得$t = 5$；當(dāng)$BM = 2AM$時，$3t = 2×(30 - 3t)$，解得$t = \frac{20}{3}$。綜上，t為$\frac{10}{3}$或5或$\frac{20}{3}$時，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”。③t為$\frac{15}{2}$或$\frac{90}{13}$或$\frac{90}{11}$。解析：當(dāng)$AN = 2MN$時，$2t = 2[2t - (30 - 3t)]$，解得$t = \frac{15}{2}$；當(dāng)$AM = 2NM$時，$30 - 3t = 2[2t - (30 - 3t)]$，解得$t = \frac{90}{13}$；當(dāng)$MN = 2AM$時，$2t - (30 - 3t) = 2(30 - 3t)$，解得$t = \frac{90}{11}$。綜上，t為$\frac{15}{2}$或$\frac{90}{13}$或$\frac{90}{11}$時，點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”。
解析：
(1)是
(2)①$20 - 3t$
②解：由題意，$AB$的長度為$20 - (-10) = 30$，設(shè)運(yùn)動時間為$t$秒，$BM = 3t$，$AM = AB - BM = 30 - 3t$。
當(dāng)$AM = 2BM$時，$30 - 3t = 2×3t$，解得$t = \frac{10}{3}$；
當(dāng)$AB = 2AM$時，$30 = 2×(30 - 3t)$，解得$t = 5$；
當(dāng)$BM = 2AM$時，$3t = 2×(30 - 3t)$，解得$t = \frac{20}{3}$。
綜上，$t$為$\frac{10}{3}$或$5$或$\frac{20}{3}$時，點(diǎn)$M$是線段$AB$的“二倍點(diǎn)”。
③$t$為$\frac{15}{2}$或$\frac{90}{13}$或$\frac{90}{11}$。
