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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 經(jīng)綸學典學霸 › 2025年學霸題中題七年級數(shù)學上冊蘇科版 第120頁解析答案
15.觀察與思考:我們知道1 + 2 + 3 + … + n = $\frac{n(n + 1)}{2}$,那么1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3結(jié)果等于多少呢?請你仔細觀察,找出下面圖形與算式的關(guān)系,解決下列問題:

1^3 = 1^2;1^3 + 2^3 = 3^2;1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2;1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2.
(1)規(guī)律觀察:1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 =
15
^2;
(2)推算概括:用含n的式子表示出1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 =
[$\frac{n(n+1)}{2}$]2
;
(3)拓展應(yīng)用:$\frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 100^3}{1 + 2 + 3 + … + 100}$ =
5050
.
答案：(1)15 解析：因為13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152。(2)[$\frac{n(n+1)}{2}$]2 解析：由(1)得13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2=[$\frac{n(n+1)}{2}$]2。(3)5050 解析：$\frac{13+23+33+...+1003}{1+2+3+...+100}$=$\frac{(1+2+3+...+100)2}{1+2+3+...+100}$=1+2+3+...+100=$\frac{100×(100+1)}{2}$=5050。
解析：
(1)15
(2)$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
(3)5050
16.(2025·南京期末)按圖示切割正方體就可以切割出正六邊形(正六邊形的各頂點恰是其棱的中點),以下此正方體的平面展開圖及切割線的畫法正確的有
①③④
.(填序號)
答案：①③④ 解析：對于①，將展開圖重新折疊可得出原來的正方體(含切割線)，符合題意；對于②，將展開圖重新折疊不能得出原來的正方體(含切割線)，不符合題意；對于③，將展開圖重新折疊可得出原來的正方體(含切割線)，符合題意；對于④，將展開圖重新折疊可得出原來的正方體(含切割線)，符合題意。故答案為①③④。
17.新趨勢 項目式學習 (2025·龍巖期末)【綜合與實踐】
“好學小組”和“樂學小組”開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動.他們利用邊長為a cm的正方形紙板設(shè)計成如圖所示的甲、乙兩種紙盒,甲種紙盒是無蓋的紙盒,乙種紙盒是有蓋的紙盒.

【動手操作】好學小組:根據(jù)圖①方式制作一個甲種無蓋的長方體盒子.方法是先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為b cm的小正方形,再沿虛線折合起來.樂學小組:根據(jù)圖②方式制作一個乙種有蓋的長方體紙盒.方法是先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為b cm的小正方形和兩個同樣大小的小長方形,再沿虛線折合起來.

【問題解決】
(1)①無蓋長方體紙盒的底面積為______cm^2(用含a和b的代數(shù)式表示);
②有蓋長方體紙盒的底面周長為______cm(用含a和b的代數(shù)式表示).
【拓展探究】
(2)兩小組探究發(fā)現(xiàn):按照上面的制作方案,甲種紙盒的體積和乙種紙盒的體積的比$\frac{V_{甲}}{V_{乙}}$與a,b取值無關(guān).請你寫出$\frac{V_{甲}}{V_{乙}}$的值,并說明理由.
【實際應(yīng)用】
(3)春節(jié)臨近,杭城某紙箱廠接到一筆訂單,需要趕制長、寬、高分別為40cm、30cm、10cm的有蓋長方體盒子若干.為了降低成本,提高效率,廠方?jīng)Q定購買大小合適的長方形紙板,采用乙種紙盒的制作方案,并且一張紙板制作一個紙盒.
①請分別在圖③、圖④虛線框內(nèi)畫出兩種不同的設(shè)計圖,并標上相應(yīng)的尺寸;
②求廠方采購的長方形紙板的最小面積.
答案：
(1)①(a?2b)2②3(a?2b) 解析：底面長方形的寬為(a?2b)÷2=$\frac{1}{2}$(a?2b)=($\frac{1}{2}$a?b)cm，底面周長為2(a?2b+$\frac{1}{2}$a?b)=2($\frac{3}{2}$a?3b)=3(a?2b)(cm)。(2)V甲:V乙=2:1。理由如下：依題意得V甲=(a?2b)2·b，V乙=(a?2b)·$\frac{1}{2}$(a?2b)·b=$\frac{1}{2}$(a?2b)2·b，所以$\frac{V甲}{V乙}$=$\frac{(a?2b)2·b}{\frac{1}{2}(a?2b)2·b}$=2，所以V甲:V乙=2:1。(3)①兩種不同的設(shè)計圖如下：②圖①中長方形紙板的面積為S3=60×80=4800(cm2)，圖②中長方形紙板的面積為S4=50×100=5000(cm2)，因為4800＜5000，所以廠方采購的長方形紙板的最小面積為4800cm2。
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