10.教材P142練習(xí)T2變式 如圖,左邊的幾何體叫三棱柱,它有5個面,9條棱,6個頂點(diǎn),中間和右邊的幾何體分別是四棱柱和五棱柱.
(1)四棱柱有
8
個頂點(diǎn),
12
條棱,
6
個面.
(2)五棱柱有
10
個頂點(diǎn),
15
條棱,
7
個面.
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有幾個頂點(diǎn),幾條棱,幾個面嗎?
六棱柱有12個頂點(diǎn)，18條棱，8個面；七棱柱有14個頂點(diǎn)，21條棱，9個面。
(4)n棱柱有幾個頂點(diǎn),幾條棱,幾個面?
n棱柱有2n個頂點(diǎn)，3n條棱，(n+2)個面。
答案：【解析】：本題主要考查對棱柱性質(zhì)的理解和應(yīng)用。
(1) 對于四棱柱，可以從給出的四棱柱圖形中直接觀察到其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)。
(2) 對于五棱柱，同樣可以從給出的五棱柱圖形中直接觀察到其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)。
(3) 對于六棱柱和七棱柱，需要根據(jù)前面的觀察結(jié)果進(jìn)行推理。
(4) 對于n棱柱，需要找出頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)與棱數(shù)n之間的關(guān)系。
【答案】：
(1) 四棱柱有8個頂點(diǎn)，12條棱，6個面。
(2) 五棱柱有10個頂點(diǎn)，15條棱，7個面。
(3) 六棱柱有12個頂點(diǎn)，18條棱，8個面；七棱柱有14個頂點(diǎn)，21條棱，9個面。
(4) n棱柱有2n個頂點(diǎn)，3n條棱，(n+2)個面。
11.探究:如圖,將一個正方體表面全部涂上顏色.
(1)把正方體的棱三等分,然后沿等分線把正方體切開,得到27個小正方體,我們把僅有i個面涂色的小正方體的個數(shù)記為$x_{i}$,那么$x_{3}= $
8
,$x_{2}= $
12
,$x_{1}= $
6
,$x_{0}= $
1
;
(2)如果把正方體的棱四等分,同樣沿等分線把正方體切開,得到64個小正方體,那么$x_{3}= $
8
,$x_{2}= $
24
,$x_{1}= $
24
,$x_{0}= $
8
;
(3)如果將這個正方體的棱n等分(n大于3),沿等分線把正方體切開,得到$n^{3}$個小正方體,且滿足$2x_{2}-x_{3}= 208$,求n的值.
由 (1)(2) 可得 $x_3 = 8$，$x_2 = 12(n - 2)$，代入 $2x_2 - x_3 = 208$，即 $2×12(n - 2) - 8 = 208$，解得 $n = 11$.
答案：(1) 8 12 6 1 解析：由題圖可知，3 個面涂色的小正方體在原正方體的頂點(diǎn)處，共有 8 個，故 $x_3 = 8$；2 個面涂色的小正方體在每條棱的中間處，共有 12 個，故 $x_2 = 12$；1 個面涂色的小正方體在原正方體每個面的中心處，共有 6 個，故 $x_1 = 6$；沒有涂色的小正方體在原正方體的中心處，有 1 個，故 $x_0 = 1$，故答案為 8，12，6，1.；(2) 8 24 24 8；(3) 由 (1)(2) 可得 $x_3 = 8$，$x_2 = 12(n - 2)$，代入 $2x_2 - x_3 = 208$，即 $2×12(n - 2) - 8 = 208$，解得 $n = 11$.
解析：
(1) 8；12；6；1
(2) 8；24；24；8
(3) 解：由題意得，$x_{3}=8$，$x_{2}=12(n-2)$
∵$2x_{2}-x_{3}=208$
∴$2×12(n-2)-8=208$
$24(n-2)=216$
$n-2=9$
$n=11$
12.若將棱長為2的正方體切成8個棱長為1的小正方體,則所有小正方體表面積的和是原正方體表面積的
2
倍;若將棱長為3的正方體切成27個棱長為1的小正方體,則所有小正方體表面積的和是原正方體表面積的
3
倍;若將棱長為$n(n＞1$,n為整數(shù))的正方體切成$n^{3}$個棱長為1的小正方體,則所有小正方體表面積的和是原正方體表面積的
n
倍.
答案：2 3 $n$ 解析：棱長為 $n(n ＞ 1$，$n$ 為整數(shù)) 的正方體的表面積是 $6n^2$，把它切成 $n^3$ 個棱長為 1 的小正方體，則每個小正方體的表面積是 6，則所有小正方體表面積的和是 $6n^3$，所以所有小正方體表面積的和是原正方體表面積的 $n$ 倍.
解析：
解：棱長為2的正方體表面積為$6×2^2=24$，切成8個棱長為1的小正方體，每個小正方體表面積為$6×1^2=6$，所有小正方體表面積和為$8×6=48$，$48÷24=2$；
棱長為3的正方體表面積為$6×3^2=54$，切成27個棱長為1的小正方體，所有小正方體表面積和為$27×6=162$，$162÷54=3$；
棱長為$n$的正方體表面積為$6n^2$，切成$n^3$個棱長為1的小正方體，所有小正方體表面積和為$n^3×6=6n^3$，$6n^3÷6n^2=n$。
2；3；$n$
13.十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式,被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多面體模型,解答下列問題:
(1)根據(jù)圖中的多面體模型,完成表格:
|多面體|頂點(diǎn)數(shù)(V)|面數(shù)(F)|棱數(shù)(E)|
|四面體|4|4|
6
|
|長方體|8|6|12|
|正八面體|
6
|8|12|
|正十二面體|20|12|30|
你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是:
E = V + F - 2
.
(2)一個多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8,且有30條棱,則這個多面體的面數(shù)是
20
.
(3)某個玻璃飾品的外形是簡單的多面體,它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成的,每個頂點(diǎn)處都有3條棱,且每個頂點(diǎn)都是3個面的交點(diǎn),已知共有棱36條.求該多面體外表面三角形的個數(shù).
因為 $E = 36 = \frac{3V}{2}$，所以 $V = 24$。又因為 $V + F - E = 2$，所以 $F = 14$。設(shè)三角形的個數(shù)為 $x$，則八邊形的個數(shù)為 $14 - x$，每個三角形有 3 個頂點(diǎn)，每個八邊形有 8 個頂點(diǎn)，且因為每個頂點(diǎn)都是 3 個面的交點(diǎn)，共有 24 個頂點(diǎn)，所以 $\frac{3x + 8(14 - x)}{3} = 24$，解得 $x = 8$，所以該多面體外面三角形的個數(shù)為 8。
答案：(1) 6 6 $E = V + F - 2$；(2) 20 解析：由題意得 $F - 8 + F - 30 = 2$，解得 $F = 20$. 故答案為 20.；(3) 因為 $E = 36 = \frac{3V}{2}$，所以 $V = 24$. 又因為 $V + F - E = 2$，所以 $F = 14$. 設(shè)三角形的個數(shù)為 $x$，則八邊形的個數(shù)為 $14 - x$，每個三角形有 3 個頂點(diǎn)，每個八邊形有 8 個頂點(diǎn)，且因為每個頂點(diǎn)都是 3 個面的交點(diǎn)，共有 24 個頂點(diǎn)，所以 $\frac{3x + 8(14 - x)}{3} = 24$，解得 $x = 8$，所以該多面體外面三角形的個數(shù)為 8.
解析：
(1) 6；6；$V+F-E=2$
(2) 20
(3) 解：因為$E=36=\frac{3V}{2}$，所以$V=24$。
由$V+F-E=2$，得$F=E-V+2=36-24+2=14$。
設(shè)三角形的個數(shù)為$x$，則八邊形的個數(shù)為$14-x$。
由題意得$\frac{3x+8(14-x)}{3}=24$，解得$x=8$。
答：該多面體外表面三角形的個數(shù)為8。
