1. (2024·鹽城模擬)在某月的月歷中圈出相鄰的3個(gè)數(shù),其和為41.這3個(gè)數(shù)的位置可能是(
A
)
答案：A 解析：設(shè)最小的數(shù)為 $ x $（$ x $ 為正整數(shù)），則其他 3 個(gè)數(shù)分別為 $ x + 1 $，$ x + 7 $，$ x + 8 $。A. $ x + x + 1 + x + 7 = 41 $，解得 $ x = 11 $，符合題意；B. $ x + x + 1 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{32}{3} $，不符合題意；C. $ x + x + 7 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{26}{3} $，不符合題意；D. $ x + 1 + x + 7 + x + 8 = 41 $，解得 $ x = \frac{25}{3} $，不符合題意. 故選 A.
2. 如圖是某年某月的月歷,用如圖所示的“凹”字形框在月歷中任意框出5個(gè)數(shù),設(shè)“凹”字形框中的五個(gè)數(shù)分別為$a_{1},a_{2},a,a_{3},a_{4}$.
(1)若$a_{1}= 1$,則$a_{2}= $
8
,$a= $
9
;若$a= x$,則$a_{4}= $
$x - 6$
(用含x的式子表示).
(2)在移動(dòng)“凹”字形框的過(guò)程中,小軍說(shuō)被框住的5個(gè)數(shù)之和可能為106,小軒說(shuō)被框住的5個(gè)數(shù)之和可能為90,他們的說(shuō)法對(duì)嗎? 請(qǐng)說(shuō)明理由.
小軍的說(shuō)法對(duì)，小軒的說(shuō)法不對(duì)。理由：由題意可得五個(gè)數(shù)之和為$(a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 5a - 14$。若和為106，則$5a - 14 = 106$，解得$a = 24$；若和為90，則$5a - 14 = 90$，解得$a = 20.8$，不符合題意，舍去。
(3)若另一個(gè)“凹”字形框框住的五個(gè)數(shù)分別為$b_{1},b_{2},b,b_{3},b_{4}$,且$b= 2a+1$,則符合條件的b的值為
21，23 或 29
.
答案：(1) 8 9 $ x - 6 $ 解析：由題意得，若 $ a_1 = 1 $，則 $ a_2 = 1 + 7 = 8 $，$ a = 1 + 8 = 9 $；若 $ a = x $，則 $ a_4 = x + 1 - 7 = x - 6 $.
(2) 小軍：$ (a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 106 $，解得 $ a = 24 $；小軒：$ (a - 8) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a - 6) = 90 $，解得 $ a = 20.8 $（不符合題意，舍去）. 所以小軍的說(shuō)法對(duì)，小軒的說(shuō)法不對(duì).
(3) 21，23 或 29 解析：$ a $ 的值可以為 9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，所以 $ 2a + 1 $ 的值可以為 19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61. 因?yàn)?$ b $ 的值可以為 9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且 $ b = 2a + 1 $，所以 $ b $ 的值可以為 21，23 或 29.
3. 已知月歷中同行的數(shù)從左向右依次遞增1,同列的數(shù)從上向下依次遞增7.
(1)圖①是某月的月歷,現(xiàn)要探究帶陰影的“口”字框中的4個(gè)數(shù)(框中圈出的數(shù)沒(méi)有空白)的數(shù)量關(guān)系,方框可以任意移動(dòng).小明是先假設(shè)左上角的數(shù)為m,他通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)斜對(duì)角的兩個(gè)數(shù)之和均為_(kāi)___,從而他得出結(jié)論:“口”字框中的4個(gè)數(shù)滿足斜對(duì)角的兩數(shù)之和____(填“相等”或“不相等”).
(2)小明又探究了圖②中帶陰影的“十”字框中的5個(gè)數(shù)(框中圈出的數(shù)沒(méi)有空白)的數(shù)量關(guān)系,發(fā)現(xiàn)當(dāng)“十”字框任意移動(dòng)位置時(shí),這5個(gè)數(shù)之和總是5的倍數(shù),請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他的結(jié)論成立的理由.
(3)如圖③,月歷中有正方形和階梯形兩個(gè)陰影圖形分別覆蓋其中四個(gè)數(shù)(框中圈出的數(shù)沒(méi)有空白,兩個(gè)陰影圖形可以上、下、左、右移動(dòng),可以重疊覆蓋),設(shè)正方形覆蓋的四個(gè)數(shù)之和為M,階梯形覆蓋的四個(gè)數(shù)之和為N.若$M+N= 130$,則$N-M$的值可能是(
C
)
答案：(1) $ 2m + 8 $ 相等 解析：設(shè)左上角的數(shù)為 $ m $，則右上角的數(shù)為 $ m + 1 $，左下角的數(shù)為 $ m + 7 $，右下角的數(shù)為 $ m + 8 $，所以 $ m + (m + 8) = 2m + 8 $，$ (m + 1) + (m + 7) = 2m + 8 $，故斜對(duì)角的兩數(shù)之和均為 $ 2m + 8 $，所以“口”字框中的 4 個(gè)數(shù)滿足斜對(duì)角的兩數(shù)之和相等.
(2) 設(shè)“十”字框中的 5 個(gè)數(shù)中間的數(shù)是 $ a $，則另外 4 個(gè)數(shù)分別是 $ a - 7 $，$ a - 1 $，$ a + 1 $，$ a + 7 $，所以 $ (a - 7) + (a - 1) + a + (a + 1) + (a + 7) = 5a $，所以“十”字框任意移動(dòng)位置時(shí)，這 5 個(gè)數(shù)之和總是 5 的倍數(shù).
(3) C 解析：設(shè)正方形陰影圖形中左上角的數(shù)為 $ x $，則右上角的數(shù)為 $ x + 1 $，左下角的數(shù)為 $ x + 7 $，右下角的數(shù)為 $ x + 8 $. 設(shè)階梯形陰影圖形中左上角的數(shù)為 $ y $，則右上角的數(shù)為 $ y + 1 $，左下角的數(shù)為 $ y + 6 $，右下角的數(shù)為 $ y + 7 $，所以 $ M = x + x + 1 + x + 7 + x + 8 = 4x + 16 $，$ N = y + y + 1 + y + 6 + y + 7 = 4y + 14 $，所以 $ M + N = 4x + 4y + 30 = 130 $，所以 $ x + y = 25 $，所以 $ y = 25 - x $，所以 $ N - M = 4y + 14 - 4x - 16 = 98 - 8x $，當(dāng) $ 98 - 8x = 60 $ 時(shí)，解得 $ x = \frac{19}{4} $，不符合題意；當(dāng) $ 98 - 8x = 64 $ 時(shí)，解得 $ x = \frac{17}{4} $，不符合題意；當(dāng) $ 98 - 8x = 66 $ 時(shí)，解得 $ x = 4 $，此時(shí) $ y = 21 $，符合題意；當(dāng) $ 98 - 8x = 80 $ 時(shí)，解得 $ x = \frac{9}{4} $，不符合題意；故選 C.
