1. 下列各方程是一元一次方程的是(
C
)
A.$x^{2}-x = 4$
B.$2x - y = 4$
C.$2x = 1$
D.$\frac{1}{x}= 2$
答案：C
解析：
解：一元一次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程。
選項(xiàng)A：$x^2 - x = 4$中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程。
選項(xiàng)B：$2x - y = 4$含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程。
選項(xiàng)C：$2x = 1$只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1，且是整式方程，是一元一次方程。
選項(xiàng)D：$\frac{1}{x} = 2$不是整式方程，不是一元一次方程。
結(jié)論：C
2. (濟(jì)南中考)若代數(shù)式$4x - 5與\frac{2x - 1}{2}$的值相等,則$x$的值是(
B
)
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.2
答案：B
解析：
解：由題意得，$4x - 5 = \frac{2x - 1}{2}$
兩邊同乘2：$8x - 10 = 2x - 1$
移項(xiàng)：$8x - 2x = -1 + 10$
合并同類(lèi)項(xiàng)：$6x = 9$
解得：$x = \frac{3}{2}$
B
3. (2025·宿遷期末)下列等式變形中,不正確的是(
D
)
A.若$a = b$,則$a - 2 = b - 2$
B.若$a = b$,則$-2a = -2b$
C.若$a = b$,則$\frac{a}{3}= \frac{3}$
D.若$am = bm$,則$a = b$
答案：D
解析：
解：A. 若$a = b$，等式兩邊同時(shí)減2，得$a - 2 = b - 2$，變形正確；
B. 若$a = b$，等式兩邊同時(shí)乘$-2$，得$-2a = -2b$，變形正確；
C. 若$a = b$，等式兩邊同時(shí)除以3，得$\frac{a}{3} = \frac{3}$，變形正確；
D. 若$am = bm$，當(dāng)$m = 0$時(shí)，$a$不一定等于$b$，變形不正確。
答案：D
4. (2025·無(wú)錫期中)《四元玉鑒》中提出了下列問(wèn)題：今有布帛二色,共織三丈六尺,已知白布每尺價(jià)八文,彩布每尺價(jià)十文,若白布減五尺,彩布增三尺,二者總價(jià)相等,問(wèn)白布、彩布各幾何尺？這段話的意思是：現(xiàn)在有白色和彩色兩種布,總共織了三丈六尺(一丈等于十尺,三丈六尺就是36尺)。已知白色布每尺價(jià)格是8文錢(qián),彩色布每尺價(jià)格是10文錢(qián),如果白色布的長(zhǎng)度減少5尺,彩色布的長(zhǎng)度增加3尺,那么白色布和彩色布的價(jià)錢(qián)就相等。問(wèn)白色布和彩色布各有多少尺？設(shè)白色布有$x$尺,可列方程為(
B
)
A.$10(x - 5)= 8(36 - x + 3)$
B.$8(x - 5)= 10(36 - x + 3)$
C.$10(x - 5)= 8(x + 3)$
D.$8(x + 5)= 10(x - 3)$
答案：B
解析：
設(shè)白色布有$x$尺，則彩色布有$(36 - x)$尺。
白布減五尺后的長(zhǎng)度為$(x - 5)$尺，此時(shí)總價(jià)為$8(x - 5)$文；
彩布增三尺后的長(zhǎng)度為$(36 - x + 3)$尺，此時(shí)總價(jià)為$10(36 - x + 3)$文。
因?yàn)槎呖們r(jià)相等，所以可列方程：$8(x - 5)= 10(36 - x + 3)$。
答案：B
5. 某商場(chǎng)的電視機(jī)按原價(jià)的九折銷(xiāo)售,要使銷(xiāo)售總收入不變,那么銷(xiāo)售量應(yīng)增加(
C
)
A.$\frac{1}{11}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{8}$
答案：C 解析:設(shè)電視機(jī)的原價(jià)為 $ a $ 元,且按原價(jià)出售時(shí)的銷(xiāo)售量為 $ b $ 臺(tái),銷(xiāo)售量應(yīng)增加 $ x $,則有 $ 0.9a \cdot (1 + x)b = ab $,解得 $ x = \frac{1}{9} $.
6. 相傳有個(gè)人因?yàn)椴恢v究說(shuō)話藝術(shù)常引起誤會(huì),一天他擺宴席請(qǐng)客,他看到還有幾個(gè)人沒(méi)來(lái),就自言自語(yǔ)：“怎么該來(lái)的還不來(lái)呢？”來(lái)了的客人聽(tīng)了,心想難道我們是不該來(lái)的,于是有三分之一的客人走了,他一看十分著急,又說(shuō)：“不該走的倒走了！”剩下的人一聽(tīng),是我們?cè)撟甙?！又有剩下的五分之三的人離開(kāi)了,他著急地一拍大腿,連說(shuō)：“我說(shuō)的不是他們”。于是最后剩下的四個(gè)人也都告辭走了,聰明的你能知道開(kāi)始來(lái)的客人數(shù)為(
C
)
A.20位
B.19位
C.15位
D.11位
答案：C 解析:設(shè)開(kāi)始來(lái)了 $ x $ 位客人,由題意可得 $ \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}\left(x - \frac{1}{3}x\right) + 4 = x $,解得 $ x = 15 $,故選 C.
7. 關(guān)于$x的一元一次方程2x^{a - 2}+m = 4的解為x = 1$,則$a + m$的值為
5
。
答案：5
解析：
解：因?yàn)榉匠淌顷P(guān)于$x$的一元一次方程，所以$a - 2 = 1$，解得$a = 3$。
將$x = 1$代入方程$2x + m = 4$，得$2×1 + m = 4$，解得$m = 2$。
所以$a + m = 3 + 2 = 5$。
5
8. (重慶中考)方程$2(x - 3)= 6$的解是
$ x = 6 $
。
答案：$ x = 6 $
解析：
解：$2(x - 3)= 6$
$x - 3 = 3$
$x = 6$
9. 我們定義一種新的運(yùn)算法則：$a※b = 3ab - 2$,例：$2※(-1)= 3×2×(-1)-2 = -8$。若$4※x = 5x + 12$,則$x$的值為
2
。
答案：2
解析：
解：由新運(yùn)算法則可得，$4※x = 3×4×x - 2 = 12x - 2$。
因?yàn)?4※x = 5x + 12$，所以$12x - 2 = 5x + 12$。
移項(xiàng)得：$12x - 5x = 12 + 2$，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：$7x = 14$，
解得：$x = 2$。
2
10. 甲、乙兩人分別從$A$,$B$兩地同時(shí)相向而行,當(dāng)甲走出42km時(shí),乙恰好走完了$A$,$B$兩地之間距離的$\frac{1}{3}$,此時(shí)兩人相距12km,則$A$,$B$兩地之間的距離為
45 或 81
km。
答案：45 或 81
解析：
設(shè)$A$，$B$兩地之間的距離為$x$km。
情況一：兩人還未相遇
此時(shí)甲走的路程加上乙走的路程再加上兩人相距的距離等于總距離，可列方程：
$42 + \frac{1}{3}x + 12 = x$
$54 + \frac{1}{3}x = x$
$x - \frac{1}{3}x = 54$
$\frac{2}{3}x = 54$
$x = 54 × \frac{3}{2}$
$x = 81$
情況二：兩人相遇后又相距12km
此時(shí)甲走的路程加上乙走的路程減去兩人相距的距離等于總距離，可列方程：
$42 + \frac{1}{3}x - 12 = x$
$30 + \frac{1}{3}x = x$
$x - \frac{1}{3}x = 30$
$\frac{2}{3}x = 30$
$x = 30 × \frac{3}{2}$
$x = 45$
綜上，$A$，$B$兩地之間的距離為$45$或$81$km。
答案：45 或 81
11. (2025·莆田期末)記$2x - 1為M$,$3x - 2為N$。我們知道,當(dāng)這兩個(gè)代數(shù)式中的$x$取某一確定的有理數(shù)時(shí),$M和N$的值也隨之確定,例如當(dāng)$x = 2$時(shí),$M = 2x - 1 = 3$。若$x和M$,$N$的值如下表所示,則$c$的值為_(kāi)_____。
| $x$的值 | 2 | $c$ |
| $M$的值 | 3 | $b$ |
| $N$的值 | $a$ | $b$ |
1
答案：1
解析：
解：當(dāng)$x=2$時(shí)，$N=3x - 2 = 3×2 - 2 = 4$，故$a=4$。
因?yàn)楫?dāng)$x=c$時(shí)，$M=N=b$，所以$2c - 1 = 3c - 2$。
解得$c=1$。
1
