1. 若關(guān)于 x 的方程$(3 - m)x^{2|m| - 5} + 3 = 2$是一元一次方程,則$m = $
-3
.
答案：-3
解析：
解：因?yàn)榉匠?(3 - m)x^{2|m| - 5} + 3 = 2$是一元一次方程，所以未知數(shù)$x$的最高次數(shù)為$1$，且系數(shù)不為$0$。
可得：$2|m| - 5 = 1$且$3 - m \neq 0$。
由$2|m| - 5 = 1$，得$2|m| = 6$，$|m| = 3$，所以$m = \pm 3$。
由$3 - m \neq 0$，得$m \neq 3$。
綜上，$m = -3$。
$-3$
2. 已知單項(xiàng)式$-x^{|a + 1|}y^{3}與2x^{3}y^$是同類(lèi)項(xiàng),則$a = $
-4或2
,$b = $
3
.
答案：-4或2
解析：
解：因?yàn)閱雾?xiàng)式$-x^{|a + 1|}y^{3}$與$2x^{3}y^$是同類(lèi)項(xiàng)，所以相同字母的指數(shù)相同。
對(duì)于$x$的指數(shù)：$|a + 1| = 3$，解得$a + 1 = 3$或$a + 1 = -3$，即$a = 2$或$a = -4$。
對(duì)于$y$的指數(shù)：$b = 3$。
綜上，$a = -4$或$2$，$b = 3$。
$-4$或$2$；$3$
3. (2025·周口期末)若$4x^{m + 5}y^{2}與\frac{1}{3}x^{2m - 1}y^{n}$的和仍是單項(xiàng)式,則$m + n = $
8
.
答案：8
解析：
解：因?yàn)?4x^{m + 5}y^{2}$與$\frac{1}{3}x^{2m - 1}y^{n}$的和仍是單項(xiàng)式，所以它們是同類(lèi)項(xiàng)。
同類(lèi)項(xiàng)要求相同字母的指數(shù)相同，可得：
$m + 5 = 2m - 1$，解得$m = 6$；
$n = 2$。
所以$m + n = 6 + 2 = 8$。
8
4. (1)若式子$\frac{2x - 1}{3}與\frac{3}{2}$互為倒數(shù),則$x = $
$\frac{3}{2}$
.
(2)若$\frac{1}{2}a + 1與\frac{2a - 7}{3}$互為相反數(shù),則 a 的值為
$\frac{8}{7}$
.
答案：(1)$\frac{3}{2}$ (2)$\frac{8}{7}$
解析：
(1) 因?yàn)?\frac{2x - 1}{3}$與$\frac{3}{2}$互為倒數(shù)，所以$\frac{2x - 1}{3} × \frac{3}{2} = 1$，化簡(jiǎn)得$\frac{2x - 1}{2} = 1$，兩邊同乘$2$得$2x - 1 = 2$，移項(xiàng)得$2x = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$。
(2) 因?yàn)?\frac{1}{2}a + 1$與$\frac{2a - 7}{3}$互為相反數(shù)，所以$\frac{1}{2}a + 1 + \frac{2a - 7}{3} = 0$，兩邊同乘$6$得$3a + 6 + 4a - 14 = 0$，合并同類(lèi)項(xiàng)得$7a - 8 = 0$，移項(xiàng)得$7a = 8$，解得$a = \frac{8}{7}$。
(1)$\frac{3}{2}$；(2)$\frac{8}{7}$
5. 有一道解方程的題：$3x - (5□x) = - 7$,“□”處在印刷時(shí)被油墨蓋住了,查閱后面的答案得知這個(gè)方程的解是$x = - 2$,那么“□”處應(yīng)該是(
B
)
A.-2
B.+2
C.+3
D.-3
答案：B
解析：
解：設(shè)“□”處的符號(hào)為“+a”（這里a為選項(xiàng)中的數(shù)字，先假設(shè)符號(hào)為“+”，若后續(xù)驗(yàn)證不符再考慮“-”）。
將x=-2代入方程3x - (5□x) = -7，得：
3×(-2) - (5 + a×(-2)) = -7
即：-6 - (5 - 2a) = -7
去括號(hào)：-6 - 5 + 2a = -7
合并同類(lèi)項(xiàng)：-11 + 2a = -7
移項(xiàng)：2a = -7 + 11
2a = 4
解得：a = 2
所以“□”處為“+2”，驗(yàn)證：當(dāng)“□”為“+2”時(shí)，方程為3x - (5 + 2x) = -7，將x=-2代入左邊：3×(-2) - (5 + 2×(-2)) = -6 - (5 - 4) = -6 -1 = -7，右邊=-7，等式成立。
答案：B
6. 小琪在解關(guān)于 x 的一元一次方程$\frac{x + 3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$的去分母環(huán)節(jié)時(shí),錯(cuò)誤地得到了方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$,因而求得的解是$x = \frac{5}{2}$?，F(xiàn)請(qǐng)你幫忙,求得原方程實(shí)際的解是(
B
)
A.$x = 1$
B.$x = 2$
C.$x = \frac{3}{2}$
D.$x = \frac{1}{2}$
答案：B 解析:先把$x=\frac{5}{2}$代入錯(cuò)誤的方程中得$m=1$,把$m=1$代入原方程得$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$,解得$x=2$,則原方程實(shí)際的解是$x=2$.故選 B.
7. (2024·蘇州期末)已知關(guān)于 x 的方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}與方程\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$的解互為倒數(shù),則$2m^{2} - 4m + 3$的值為
9
.
答案：9 解析:解方程$\frac{x-1}{2}=3x-2$,得$x=\frac{3}{5}$,所以方程$\frac{x-m}{2}=x+\frac{m}{3}$的解為$x=\frac{5}{3}$,代入可得$\frac{5}{6}-\frac{m}{2}=\frac{5}{3}+\frac{m}{3}$,解得$m=-1$,所以$2m^{2}-4m+3=2+4+3=9$.
解析：
解：解方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$
$x - 1 = 2(3x - 2)$
$x - 1 = 6x - 4$
$x - 6x = -4 + 1$
$-5x = -3$
$x = \frac{3}{5}$
因?yàn)閮煞匠痰慕饣榈箶?shù)，所以方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解為$x = \frac{5}{3}$
將$x = \frac{5}{3}$代入$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$
$\frac{\frac{5}{3} - m}{2} = \frac{5}{3} + \frac{m}{3}$
$\frac{5}{3} - m = 2(\frac{5}{3} + \frac{m}{3})$
$\frac{5}{3} - m = \frac{10}{3} + \frac{2m}{3}$
$5 - 3m = 10 + 2m$
$-3m - 2m = 10 - 5$
$-5m = 5$
$m = -1$
則$2m^2 - 4m + 3 = 2×(-1)^2 - 4×(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$
答案：9
8. 如果方程$\frac{3x - 4}{2} - 7 = \frac{2x + 1}{3} - 1的解與方程4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$的解相同,求式子$a^{2} - a + 1$的值。
答案：解方程$\frac{3x-4}{2}-7=\frac{2x+1}{3}-1$,得$x=10$,將$x=10$代入方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$,可得$40-(3a+1)=60+2a-1$,解得$a=-4$.所以$a^{2}-a+1=(-4)^{2}-(-4)+1=21$.
解析：
解：解方程$\frac{3x - 4}{2} - 7 = \frac{2x + 1}{3} - 1$
兩邊同乘6得：$3(3x - 4) - 42 = 2(2x + 1) - 6$
去括號(hào)得：$9x - 12 - 42 = 4x + 2 - 6$
移項(xiàng)合并得：$5x = 50$
解得：$x = 10$
將$x = 10$代入$4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$
得：$40 - (3a + 1) = 60 + 2a - 1$
去括號(hào)得：$40 - 3a - 1 = 60 + 2a - 1$
移項(xiàng)合并得：$-5a = 20$
解得：$a = -4$
則$a^2 - a + 1 = (-4)^2 - (-4) + 1 = 16 + 4 + 1 = 21$
答案：21
9. 若關(guān)于 x 的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 4 = 3x + m的解是x = - 2024$,那么關(guān)于 y 的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y + 1) + 4 = 3y + m + 3$的解是
$y=-2025$
.
答案：$y=-2025$ 解析:設(shè)$y+1=t$,所求方程變形得$\frac{1}{2025}t+4=3t+m$,所以$y+1=t=-2024$,解得$y=-2025$.
解析：
解：設(shè)$y + 1 = t$，則關(guān)于$y$的方程$\frac{1}{2025}(y + 1) + 4 = 3y + m + 3$可變形為$\frac{1}{2025}t + 4 = 3(t - 1) + m + 3$，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{2025}t + 4 = 3t - 3 + m + 3$，即$\frac{1}{2025}t + 4 = 3t + m$。
因?yàn)殛P(guān)于$x$的方程$\frac{1}{2025}x + 4 = 3x + m$的解是$x = -2024$，所以$t = -2024$。
又因?yàn)?t = y + 1$，所以$y + 1 = -2024$，解得$y = -2025$。
$y = -2025$
10. (1)已知關(guān)于 x 的一次方程$(3a + 8)x + 7 = 0$無(wú)解,則$9a^{2} - 3a - 64$的值為
8
.
(2)若關(guān)于 x 的方程$\frac{3x}{2} + \frac{ax + 2}{3} = b$有無(wú)數(shù)個(gè)解,則 ab 的值為
-3
.
答案：(1)8 解析:由題意可知$3a+8=0$,解得$a=-\frac{8}{3}$.將$a=-\frac{8}{3}$代入$9a^{2}-3a-64$,得$9×(-\frac{8}{3})^{2}-3×(-\frac{8}{3})-64=64+8-64=8$. (2)-3 解析:原方程可整理為$(9+2a)x=6b-4$.因?yàn)樵匠逃袩o(wú)數(shù)個(gè)解,所以$9+2a=0$,且$6b-4=0$,解得$a=-\frac{9}{2},b=\frac{2}{3}$.所以$ab=-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}=-3$. 方法總結(jié) 關(guān)于x的方程$ax=b$,若a不等于0,則該方程只有唯一解$x=\frac{a}$;若$a=0$且$b=0$,則該方程有無(wú)數(shù)個(gè)解(無(wú)論x取何值,等式恒成立);若$a=0$且$b≠0$,則該方程無(wú)解(無(wú)論x取何值,等式恒不成立).
解析：
(1)解：因?yàn)殛P(guān)于$x$的一次方程$(3a + 8)x + 7 = 0$無(wú)解，所以$3a + 8 = 0$，解得$a=-\frac{8}{3}$。
將$a=-\frac{8}{3}$代入$9a^{2}-3a - 64$，得：
$9×(-\frac{8}{3})^{2}-3×(-\frac{8}{3})-64$
$=9×\frac{64}{9}+8 - 64$
$=64 + 8 - 64$
$=8$
(2)解：原方程$\frac{3x}{2}+\frac{ax + 2}{3}=b$兩邊同乘$6$去分母，得：
$9x + 2(ax + 2)=6b$
去括號(hào)：$9x + 2ax + 4 = 6b$
合并同類(lèi)項(xiàng)：$(9 + 2a)x + 4 = 6b$，即$(9 + 2a)x=6b - 4$
因?yàn)榉匠逃袩o(wú)數(shù)個(gè)解，所以$9 + 2a = 0$且$6b - 4 = 0$
解得$a=-\frac{9}{2}$，$b=\frac{2}{3}$
所以$ab=-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}=-3$
答案：(1)8；(2)-3
11. (2024·福州月考)如果 a,b 為定值,關(guān)于 x 的一次方程$\frac{kx + 2a}{2} - \frac{x - bk}{6} = \frac{1}{2}$,無(wú)論 k 為何值時(shí),它的解總是 1,求$6a + b$的值。
答案：將$x=1$代入原方程得$\frac{k+2a}{2}-\frac{1-bk}{6}=\frac{1}{2}$,所以$3k+6a-1+bk=3$,所以$3k+bk=4-6a$,所以$(3+b)k=4-6a$.根據(jù)題意得$3+b=0,4-6a=0$,解得$a=\frac{2}{3},b=-3$,所以$6a+b=6×\frac{2}{3}-3=1$.
解析：
解：將$x=1$代入原方程$\frac{kx + 2a}{2} - \frac{x - bk}{6} = \frac{1}{2}$，得：
$\frac{k + 2a}{2} - \frac{1 - bk}{6} = \frac{1}{2}$
方程兩邊同乘6去分母，得：
$3(k + 2a) - (1 - bk) = 3$
去括號(hào)，得：
$3k + 6a - 1 + bk = 3$
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：
$(3 + b)k + 6a - 4 = 0$
即：
$(3 + b)k = 4 - 6a$
因?yàn)闊o(wú)論$k$為何值，方程的解總是1，所以關(guān)于$k$的方程$(3 + b)k = 4 - 6a$對(duì)任意$k$都成立，因此系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都必須為0，即：
$\begin{cases}3 + b = 0 \\4 - 6a = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = \frac{2}{3} \\b = -3\end{cases}$
所以$6a + b = 6×\frac{2}{3} + (-3) = 4 - 3 = 1$
答：$6a + b$的值為$1$。
