12. 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,已知$a:b = 3:2$,$b:c = 4:5$,且該三角形的周長(zhǎng)為 30,則$a = $
12
,$b = $
8
,$c = $
10
.
答案：12 8 10 解析:由$a:b=3:2=6:4,b:c=4:5$,得$a:b:c=6:4:5$,故設(shè)$a=6n,b=4n,c=5n$.因?yàn)樵撊切蔚闹荛L(zhǎng)為30,所以$6n+4n+5n=30$,解得$n=2$.故$a=12,b=8,c=10$.
解析：
解：因?yàn)?a:b = 3:2 = 6:4$，$b:c = 4:5$，所以$a:b:c = 6:4:5$。
設(shè)$a = 6n$，$b = 4n$，$c = 5n$。
由于三角形周長(zhǎng)為$30$，則$6n + 4n + 5n = 30$，
$15n = 30$，解得$n = 2$。
所以$a = 6×2 = 12$，$b = 4×2 = 8$，$c = 5×2 = 10$。
$12$；$8$；$10$
13. 用 A,B 兩種規(guī)格的長(zhǎng)方形紙板無重合無縫隙地拼接,可得如圖所示的周長(zhǎng)為 32 cm 的正方形,已知 A 種長(zhǎng)方形的寬為 1 cm,則 B 種長(zhǎng)方形的面積是____
12
$cm^{2}$。
答案：12 解析:設(shè)A種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是x cm,則B種長(zhǎng)方形的寬是$(8-x)÷2=(4-\frac{1}{2}x)$cm.由題圖可知,B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+B種長(zhǎng)方形的寬=8 cm,所以B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)$=8-(4-\frac{1}{2}x)=(4+\frac{1}{2}x)$cm.又B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=B種長(zhǎng)方形的寬$+4×$A種長(zhǎng)方形的寬,所以B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)$=(4-\frac{1}{2}x)+4=(8-\frac{1}{2}x)$cm,所以$4+\frac{1}{2}x=8-\frac{1}{2}x$,解得$x=4$.所以B種長(zhǎng)方形的面積$=(4-\frac{1}{2}x)·(8-\frac{1}{2}x)=(4-2)×(8-2)=2×6=12(cm^{2})$.
解析：
設(shè)A種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是$x$cm。
因?yàn)槠唇映傻恼叫沃荛L(zhǎng)為32cm，所以正方形邊長(zhǎng)為$32÷4 = 8$cm。
由題圖可知，B種長(zhǎng)方形的寬是$(8 - x)÷2=(4-\frac{1}{2}x)$cm。
又因?yàn)锽種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+B種長(zhǎng)方形的寬=8cm，所以B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)$=8-(4-\frac{1}{2}x)=(4+\frac{1}{2}x)$cm。
同時(shí)，B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=B種長(zhǎng)方形的寬$+4×$A種長(zhǎng)方形的寬（A種寬為1cm），即B種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)$=(4-\frac{1}{2}x)+4=(8-\frac{1}{2}x)$cm。
所以$4+\frac{1}{2}x=8-\frac{1}{2}x$，解得$x = 4$。
則B種長(zhǎng)方形的寬為$4-\frac{1}{2}×4=2$cm，長(zhǎng)為$8-\frac{1}{2}×4 = 6$cm。
所以B種長(zhǎng)方形的面積是$2×6 = 12$cm2。
答案：12
14. 如圖,從一張正方形紙片上剪去一個(gè)寬為 3 cm 的長(zhǎng)方形紙條,再?gòu)氖Ｏ碌拈L(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬為 1 cm 的長(zhǎng)方形紙條。
(1)如果第一次剪下的長(zhǎng)方形紙條的周長(zhǎng)恰好是第二次剪下的長(zhǎng)方形紙條周長(zhǎng)的 2 倍,求原正方形紙片的邊長(zhǎng)。
(2)第一次剪下的長(zhǎng)方形紙條的面積能否是第二次剪下的長(zhǎng)方形紙條面積的 2 倍？如果能,請(qǐng)求出正方形紙片的面積；如果不能,請(qǐng)說明理由。
答案：(1)設(shè)原正方形紙片的邊長(zhǎng)為x cm,根據(jù)題意得$2(x+3)=2×2(x-3+1)$,解得$x=7$. 答:原正方形紙片的邊長(zhǎng)為7 cm. (2)不能.理由如下:設(shè)原正方形紙片的邊長(zhǎng)為y cm,假設(shè)第一次剪下的長(zhǎng)方形紙條的面積是第二次剪下的長(zhǎng)方形紙條面積的2倍,則$3y=2×1×(y-3)$,解得$y=-6$,由于y是正整數(shù),所以$y=-6$不符合題意,所以第一次剪下的長(zhǎng)方形紙條的面積不可能是第二次剪下的長(zhǎng)方形紙條面積的2倍.
15. 閱讀理解：a,b,c,d 是有理數(shù),我們把符號(hào)$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} 稱為2×2$階行列式,并且規(guī)定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,則滿足等式$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x + 1}{3}\\2&1\end{vmatrix} = 1$的 x 的值是
-10
.
答案：-10 解析:由題意可得$\frac{x}{2}-\frac{2(x+1)}{3}=1$,去分母得$3x-4(x+1)=6$,去括號(hào)得$3x-4x-4=6$,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得$-x=10$,解得$x=-10$.
解析：
解：由題意可得
$\frac{x}{2} × 1 - 2 × \frac{x + 1}{3} = 1$
即
$\frac{x}{2} - \frac{2(x + 1)}{3} = 1$
去分母，得
$3x - 4(x + 1) = 6$
去括號(hào)，得
$3x - 4x - 4 = 6$
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得
$-x = 10$
解得
$x = -10$
$-10$
(1)已知關(guān)于 x 的一元一次方程$3x + k = 0$是“恰解方程”,則 k 的值為
$\frac{9}{2}$
；
(2)已知關(guān)于 x 的一元一次方程$- 2x = mn + n$是“恰解方程”,且解為$x = n(n ≠ 0)$,求$(m + n)(m - n)$的值；
$\frac{77}{9}$
(3)已知關(guān)于 x 的一元一次方程$3x = mn + n和- 3x = mn + m$都是“恰解方程”,求代數(shù)式$4(mn + n)^{2} - 6(mn + m) - (m - n)$的值。
$\frac{243}{4}$
答案：(1)$\frac{9}{2}$ 解析:$3x+k=0$,解得$x=-\frac{k}{3}$,因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程$3x+k=0$是“恰解方程”,所以$x=3-k$,所以$-\frac{k}{3}=3-k$,解得$k=\frac{9}{2}$. (2)把$x=n$代入關(guān)于x的一元一次方程$-2x=mn+n$,所以$-2n=mn+n$,所以$mn=-3n$,所以$m=-3$,且$n≠0$.因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程$-2x=mn+n$是“恰解方程”,即方程為$-2x-mn-n=0$,所以$x=-2-(-mn-n)=-2+mn+n$.因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程$-2x=mn+n$的解為$x=n(n≠0)$,所以$-2+mn+n=n$,所以$mn=2$,所以$-3n=2$,解得$n=-\frac{2}{3}$.因?yàn)?m=-3$,所以$(m+n)(m-n)=(-3-\frac{2}{3})×[-3-(-\frac{2}{3})]=-\frac{11}{3}×(-3+\frac{2}{3})=\frac{77}{9}$. (3)解$3x=mn+n$,得$x=\frac{mn+n}{3}$,因?yàn)榉匠?3x=mn+n$是“恰解方程”,所以$x=3+mn+n$,所以$\frac{mn+n}{3}=3+mn+n$,所以$mn+n=-\frac{9}{2}$ ①. 解$-3x=mn+m$,得$x=-\frac{mn+m}{3}$,又因?yàn)榉匠?-3x=mn+m$是“恰解方程”,所以$x=-3+mn+m$,所以$-\frac{mn+m}{3}=-3+mn+m$,所以$mn+m=\frac{9}{4}$ ②, ②-①得$m-n=\frac{27}{4}$,所以$4(mn+n)^{2}-6(mn+m)-(m-n)=4×(-\frac{9}{2})^{2}-6×\frac{9}{4}-\frac{27}{4}=\frac{243}{4}$.
解析：
(1) $\frac{9}{2}$
(2) 解：把$x=n$代入方程$-2x=mn+n$，得$-2n=mn+n$，則$mn=-3n$，因?yàn)?n≠0$，所以$m=-3$。
方程$-2x=mn+n$化為$-2x - mn - n = 0$，由“恰解方程”定義得$x=-2 - (-mn - n)=-2 + mn + n$。
又因?yàn)榉匠痰慕鉃?x=n$，所以$-2 + mn + n = n$，即$mn=2$。
由$mn=-3n$，得$-3n=2$，解得$n=-\frac{2}{3}$。
則$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2=(-3)^2 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2=9 - \frac{4}{9}=\frac{77}{9}$。
(3) 解：方程$3x=mn + n$的解為$x=\frac{mn + n}{3}$，由“恰解方程”定義得$x=3 + mn + n$，
所以$\frac{mn + n}{3}=3 + mn + n$，解得$mn + n=-\frac{9}{2}$ ①。
方程$-3x=mn + m$的解為$x=-\frac{mn + m}{3}$，由“恰解方程”定義得$x=-3 + mn + m$，
所以$-\frac{mn + m}{3}=-3 + mn + m$，解得$mn + m=\frac{9}{4}$ ②。
② - ①得$m - n=\frac{9}{4} - \left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{27}{4}$。
則$4(mn + n)^2 - 6(mn + m) - (m - n)=4×\left(-\frac{9}{2}\right)^2 - 6×\frac{9}{4} - \frac{27}{4}=4×\frac{81}{4} - \frac{54}{4} - \frac{27}{4}=81 - \frac{81}{4}=\frac{243}{4}$。
