8. (1)如圖①,小明將一張正方形紙片剪去一個寬為4cm的長條后,再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5cm的長條,如果兩次剪下的長條面積正好相等,那么每一個長條的面積為
80
$cm^{2}$.
(2)新考法(2024·泰州月考)如圖②,甲、乙兩個長方形有一部分重疊在一起,甲長方形不重疊的部分是甲長方形面積的$\frac {2}{3}$,乙長方形不重疊的部分是乙長方形面積的$\frac {5}{7}$,且甲、乙兩個長方形面積之和為$52cm^{2}$,則重疊部分面積是
8
$cm^{2}$.
答案：(1) $ 80 $ 解析：設原來正方形紙片的邊長是 $ x \, \text{cm} $，則第一次剪下的長條的長是 $ x \, \text{cm} $，寬是 $ 4 \, \text{cm} $，第二次剪下的長條的長是 $ (x - 4) \, \text{cm} $，寬是 $ 5 \, \text{cm} $，則 $ 4x = 5(x - 4) $，解得 $ x = 20 $，$ 20×4 = 80(\text{cm}^2) $。故每一個長條的面積為 $ 80 \, \text{cm}^2 $。
(2) $ 8 $ 解析：設甲長方形的面積為 $ x \, \text{cm}^2 $，則乙長方形的面積為 $ (52 - x) \, \text{cm}^2 $，由題意，得 $ \left(1 - \frac{2}{3}\right)x = \left(1 - \frac{5}{7}\right)(52 - x) $，解得 $ x = 24 $，所以重疊部分面積是 $ \left(1 - \frac{2}{3}\right)x = \frac{1}{3}×24 = 8(\text{cm}^2) $。
9. 小明在拼圖時,發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形,恰好可以拼成一個大的長方形如圖①,小紅看見了,說:“我也來試一試.”結果小紅七拼八湊,拼成了如圖②那樣的正方形,中間還留下了一個洞,恰好是面積為$9cm^{2}$的小正方形,求每個小長方形的面積.
答案：由題圖②得中間小正方形的邊長為 $ 3 \, \text{cm} $，設每個小長方形的寬為 $ y \, \text{cm} $，由題圖②可知每個小長方形的長為 $ (2y - 3) \, \text{cm} $，根據(jù)題圖①列方程 $ 3(2y - 3) - 5y = 0 $，解得 $ y = 9 $，所以 $ 2y - 3 = 15(\text{cm}) $，所以每個小長方形的面積為 $ 9×15 = 135(\text{cm}^2) $。
答：每個小長方形的面積為 $ 135 \, \text{cm}^2 $。
10. 新考法(2025·南寧期中)對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶.如圖①所示,對聯(lián)裝裱后,上、下空白處分別稱為天頭和地頭,左、右空白處統(tǒng)稱為邊.一般情況下,天頭長與地頭長的比是6:4,左、右邊的邊寬相等,且為天頭長與地頭長的和的$\frac {1}{10}$,設左、右邊的邊寬為xcm.
(1)用含x的代數(shù)式分別表示天頭長和地頭長.
(2)現(xiàn)要裝裱一副五言聯(lián),該五言聯(lián)的長為92cm,寬為25cm,如圖②所示,裝裱五言聯(lián)用的卷軸的長是寬的4倍.求五言聯(lián)裝裱預留的天頭長.
(3)如圖③,徐老師裁出兩張長方形紙張準備寫一副七言聯(lián),每張正好劃出7個正方形方格,正方形方格的邊長為acm.若裝裱用的卷軸長為190cm,正方形方格的邊長比裝裱后的邊寬大,且兩者長度均為整數(shù),求徐老師裁剪的長方形紙張的長.
答案：(1) 因為左、右邊的邊寬為 $ x \, \text{cm} $，且為天頭長與地頭長的和的 $ \frac{1}{10} $，所以天頭長與地頭長的和為 $ 10x \, \text{cm} $。因為天頭長與地頭長的比是 $ 6:4 $，所以天頭長為 $ 10x·\frac{6}{6 + 4} = 6x \, \text{cm} $，地頭長為 $ 10x·\frac{4}{6 + 4} = 4x \, \text{cm} $。
(2) 根據(jù)題意，裝裱五言聯(lián)用的卷軸的長為 $ (92 + 10x) \, \text{cm} $，寬為 $ (25 + 2x) \, \text{cm} $。
因為卷軸的長是寬的 $ 4 $ 倍，所以 $ 92 + 10x = 4(25 + 2x) $，解得 $ x = 4 $，所以 $ 6x = 6×4 = 24(\text{cm}) $，所以五言聯(lián)裝裱預留的天頭長 $ 24 \, \text{cm} $。
(3) 因為裝裱用的卷軸長為 $ 190 \, \text{cm} $，所以 $ 7a + 10x = 190 $，所以 $ a = \frac{190 - 10x}{7} $。因為 $ a ＞ x $，$ a $ 與 $ x $ 都是正整數(shù)，所以 $ x = 5 $，$ a = 20 $，所以 $ 7a = 7×20 = 140(\text{cm}) $，所以徐老師裁剪的長方形紙張的長為 $ 140 \, \text{cm} $。
