9.新考向數(shù)學(xué)文化「2025北京海淀期中,★☆」中國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就,《周髀算經(jīng)》《算學(xué)啟蒙》《測圓海鏡》《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).某中學(xué)初二1班、2班、3班擬從這4部文獻(xiàn)中選擇1部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容,則3個(gè)班恰好選擇不同的三本文獻(xiàn)的概率為( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{8}$
答案：B 將《周髀算經(jīng)》《算學(xué)啟蒙》《測圓海鏡》《四元玉鑒》分別記作A,B,C,D，畫樹狀圖如下:
由樹狀圖可知，共有64種等可能的結(jié)果，其中3個(gè)班恰好選擇不同的三本文獻(xiàn)的結(jié)果有24種，∴3個(gè)班恰好選擇不同的三本文獻(xiàn)的概率 = $\frac{24}{64}$ = $\frac{3}{8}$，故選B.
10.跨物理電路「2024四川綿陽中考,★☆」如圖,電路上有$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$四個(gè)斷開的開關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L,將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè),能讓燈泡發(fā)光的概率為( )
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{7}{11}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{9}{11}$
答案：D 畫樹狀圖如下:
將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，所有等可能的結(jié)果有$(S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{4}),(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$，共11種，其中能讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有$(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$，共9種，∴將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為$\frac{9}{11}$，故選D.
11.「2024重慶渝中模擬,★☆」有1、2、-2三個(gè)數(shù),小明分別對這三個(gè)數(shù)求了絕對值；小亮分別對這三個(gè)數(shù)求了倒數(shù)；小穎分別對這三個(gè)數(shù)求了-2次冪.將小明、小亮、小穎三人求得的數(shù)各任意選一個(gè)相乘,則乘積恰好為整數(shù)的概率為____.
答案：答案 $\frac{7}{27}$
解析 1、2、 - 2的絕對值分別為1、2、2，倒數(shù)分別為$1、\frac{1}{2}、-\frac{1}{2}$， - 2次冪分別為$1、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}$，畫樹狀圖如下:
共有27種等可能的結(jié)果，其中乘積恰好為整數(shù)的結(jié)果數(shù)為7，所以乘積恰好為整數(shù)的概率為$\frac{7}{27}$.
12.新課標(biāo)幾何直觀如圖,在三條橫線和三條豎線組成的圖形中,任選兩條橫線和兩條豎線都可以圍成一個(gè)矩形,從這些矩形中任選一個(gè),則所選矩形含點(diǎn)A的概率是(
D
)
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{4}{9}$
答案：D 將題圖中從左到右的三條豎線分別記作a,b,c，從上到下的三條橫線分別記作m,n,l，列表如下:
ab bc ac
mn ab,mn bc,mn ac,mn
nl ab,nl bc,nl ac,nl
ml ab,ml bc,ml ac,ml
由表可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中所選矩形含點(diǎn)A的結(jié)果有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml這4種，∴所選矩形含點(diǎn)A的概率為$\frac{4}{9}$，故選D.
13.新課標(biāo)推理能力「2024江蘇泰州海陵三?！菇陙?我國“新三樣”出口非常亮眼,小明在不知道“新三樣”是什么的情況下,在“服裝、電動(dòng)載人汽車、鋰電池、太陽能電池”這四樣中(含有“新三樣”),一次猜三樣,恰好是“新三樣”的概率為____.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 把服裝、電動(dòng)載人汽車、鋰電池、太陽能電池分別記為A,B,C,D，畫樹狀圖如下:
共有24種等可能的結(jié)果，其中恰好是“新三樣”的結(jié)果有6種，∴恰好是“新三樣”的概率為$\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$.
例題 跨歷史地域文化「2025北京通州期中」長江是中華民族的母親河,長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化.若從上述四種區(qū)域文化中隨機(jī)選一種文化開展專題學(xué)習(xí),則選中“巴蜀文化”的概率是
$\frac{1}{4}$
.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 ∵共有四種區(qū)域文化，∴隨機(jī)選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，選中“巴蜀文化”的概率是$\frac{1}{4}$.
變式1【變?yōu)榉呕厥录坑兴膹埍趁嫱耆嗤目ㄆ?正面分別寫著藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化,將其背面朝上并洗勻,從中隨機(jī)抽取一張,記錄后放回,洗勻后再從中隨機(jī)抽取一張,則抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率為
$\frac{1}{4}$
.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 把藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化分別記作A,B,C,D，列表如下:
A B C D
A(A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上的漢字相同的結(jié)果有4種，則抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率為$\frac{4}{16}$ = $\frac{1}{4}$.
變式2【變?yōu)椴环呕厥录坑兴膹埍趁嫱耆嗤目ㄆ?正面分別寫著藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化,將其背面朝上并洗勻,從中隨機(jī)抽取兩張,則抽取的兩張卡片上的漢字分別為“巴蜀文化”和“荊楚文化”的概率為
$\frac{1}{6}$
.
答案：答案 $\frac{1}{6}$
解析 把藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化分別記作A,B,C,D，列表如下:
A B C D
A - (A,B) (A,C) (A,D)
B(B,A) - (B,C) (B,D)
C(C,A) (C,B) - (C,D)
D(D,A) (D,B) (D,C) -
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上的漢字分別為“巴蜀文化”和“荊楚文化”的結(jié)果有2種，則抽取的兩張卡片上的漢字分別為“巴蜀文化”和“荊楚文化”的概率為$\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$.
變式3【變?yōu)槿绞录吭谧烂嫔戏庞兴膹埍趁娉锨彝耆粯拥目ㄆ?卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,小明、小紅、小亮三人分別從中抽取一張卡片,小明抽取的卡片上的數(shù)字作百位,小紅抽取的卡片上的數(shù)字作十位,小亮抽取的卡片上的數(shù)字作個(gè)位,則抽取的卡片上的數(shù)字組成的三位數(shù)為偶數(shù)的概率是____.
答案：答案 $\frac{1}{2}$
解析 畫樹狀圖如下:
由樹狀圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片上的數(shù)字組成的三位數(shù)為偶數(shù)的結(jié)果有12種，
∴P(抽取的卡片上的數(shù)字組成的三位數(shù)為偶數(shù)) = $\frac{12}{24}$ = $\frac{1}{2}$.
