10.「2025 黑龍江齊齊哈爾建華期末,★☆」在圍棋盒中有 x 枚白色棋子和 y 枚黑色棋子,從盒中隨機(jī)取出一枚棋子,取得白色棋子的概率是$\frac{2}{5}$,如果再往盒中放進(jìn) 3 枚黑色棋子,從盒中隨機(jī)取出一枚棋子,取得白色棋子的概率為$\frac{1}{4}$,則原來(lái)盒里有白色棋子(
A
)
A.2 枚
B.3 枚
C.4 枚
D.5 枚
答案：10.A 由題意得$\begin{cases}\frac{x}{x + y}=\frac{2}{5},\\\frac{x}{x + y + 3}=\frac{1}{4},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$ ∴原來(lái)盒里有白色棋子2枚.故選A.
11.「2023 山東煙臺(tái)中考,★☆」如圖,在正方形中,陰影部分是以正方形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱(chēng)中心為圓心,以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個(gè)小球在該正方形內(nèi)自由滾動(dòng),小球隨機(jī)停在正方形內(nèi)的某一點(diǎn)上.若小球停在陰影部分的概率為$P_{1}$,停在空白部分的概率為$P_{2}$,則$P_{1}與P_{2}$的大小關(guān)系為( )
A.$P_{1}\lt P_{2}$
B.$P_{1}= P_{2}$
C.$P_{1}\gt P_{2}$
D.無(wú)法判斷
答案：11.B 如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則空白部分的面積為$2\times\frac{1}{4}\times\pi\cdot a^{2}+2\left(a^{2}-\frac{1}{4}\times\pi\cdot a^{2}\right)=\frac{1}{2}\pi a^{2}+2a^{2}-\frac{1}{2}\pi a^{2}=2a^{2}$，陰影部分的面積為$(2a)^{2}-2a^{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2}$，所以$P_{1}=\frac{\text{陰影部分面積}}{\text{正方形的面積}}=\frac{2a^{2}}{4a^{2}}=\frac{1}{2}$，$P_{2}=\frac{\text{空白部分面積}}{\text{正方形的面積}}=\frac{2a^{2}}{4a^{2}}=\frac{1}{2}$，所以$P_{1}=P_{2}$，故選B.
12.「2022 遼寧盤(pán)錦中考,★☆」若關(guān)于 x 的方程$x^{2}-3x + m = 0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且$m\geq - 3$,則從滿(mǎn)足條件的所有整數(shù) m 中隨機(jī)選取一個(gè),恰好是負(fù)數(shù)的概率是______
$\frac{1}{2}$
.
答案：12.答案$\frac{1}{2}$
解析 ∵關(guān)于x的方程$x^{2}-3x + m = 0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴$\Delta = (-3)^{2}-4\times1\times m＞0$，解得$m＜\frac{9}{4}$，又∵$m\geq - 3$，∴$-3\leq m＜\frac{9}{4}$，∴滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)為$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$，共6個(gè)，其中負(fù)數(shù)有$-3$、$-2$、$-1$，共3個(gè)，∴從滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)m中隨機(jī)選取一個(gè)，恰好是負(fù)數(shù)的概率是$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
13.「2024 山東菏澤成武開(kāi)學(xué)測(cè)試,★☆」在不透明的口袋里放入除顏色外其余都相同的 6 個(gè)紅球和一些黑球,從口袋里任意摸出一個(gè)球,如果摸到黑球的概率是$\frac{3}{5}$,那么口袋里放了
9
個(gè)黑球.要使摸到黑球的概率變成$\frac{3}{4}$,可以從口袋里拿走
3
個(gè)紅球,也可以往口袋里再放入
9
個(gè)黑球.
答案：13.答案9;3;9
解析 設(shè)口袋里放了x個(gè)黑球，∵摸到黑球的概率是$\frac{3}{5}$，∴$\frac{x}{x + 6}=\frac{3}{5}$，解得$x = 9$，經(jīng)檢驗(yàn)，$x = 9$是原分式方程的解，且符合題意，∴口袋里放了9個(gè)黑球.設(shè)可以拿走y個(gè)紅球，∵摸到黑球的概率變成$\frac{3}{4}$，∴$\frac{9}{15 - y}=\frac{3}{4}$，解得$y = 3$，經(jīng)檢驗(yàn)，$y = 3$是原分式方程的解，且符合題意，∴可以拿走3個(gè)紅球.設(shè)可以往口袋里再放入z個(gè)黑球，∵摸到黑球的概率變成$\frac{3}{4}$，∴$\frac{9 + z}{15 + z}=\frac{3}{4}$，解得$z = 9$，經(jīng)檢驗(yàn)，$z = 9$是原分式方程的解，且符合題意，∴可以往口袋里再放入9個(gè)黑球.
14.「2025 四川成都溫江期中,★☆」現(xiàn)有 6 張正面分別標(biāo)有數(shù)字 0,1,2,3,4,5 的不透明卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中任取一張,將該卡片上的數(shù)字記為 a,則使得關(guān)于 x 的一元二次方程$x^{2}-2x+\frac{a}{2}= 0$有實(shí)數(shù)根,且關(guān)于 x 的分式方程$\frac{1 - ax}{x - 2}+2= \frac{1}{2 - x}$有解的概率為
$\frac{1}{6}$
.
答案：14.答案$\frac{1}{6}$
解析 ∵關(guān)于x的一元二次方程$x^{2}-2x+\frac{a}{2}=0$有實(shí)數(shù)根，∴$\Delta = (-2)^{2}-4\times1\times\frac{a}{2}=4 - 2a\geq0$，解得$a\leq2$.由分式方程$\frac{1 - ax}{x - 2}+2=\frac{1}{2 - x}$，得$\frac{ax - 1 + 2(2 - x)}{2 - x}=\frac{1}{2 - x}$，解得$x=\frac{2}{2 - a}(x\neq2)$，∴$a\neq1$且$a\neq2$，∴$a＜2$且$a\neq1$.由題意得，共有6種等可能的結(jié)果，其中滿(mǎn)足$a＜2$且$a\neq1$的結(jié)果是$a = 0$，共1種，∴使得關(guān)于x的一元二次方程$x^{2}-2x+\frac{a}{2}=0$有實(shí)數(shù)根，且關(guān)于x的分式方程$\frac{1 - ax}{x - 2}+2=\frac{1}{2 - x}$有解的概率為$\frac{1}{6}$.
15.新課標(biāo)幾何直觀斐波那契螺旋線也稱(chēng)“黃金螺旋線”,是根據(jù)斐波那契數(shù)列 1,1,2,3,5,…畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線.如圖,白色小圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為 1 的正方形,黑色曲線就是斐波那契螺旋線的一部分,它是依次在以 1,2,3,5 為邊長(zhǎng)的正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為$90^{\circ}$的扇形,將其圓弧連接起來(lái)得到的.若在矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(
D
)
A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{39\pi}{160}$
C.$\frac{19\pi + 1}{80}$
D.$\frac{19\pi + 2}{80}$
答案：15.D 由題意得矩形ABCD的長(zhǎng)為8，寬為5，即$S_{\text{矩形}ABCD}=8\times5 = 40$，因?yàn)?S_{\text{陰影}}=\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{4}+\frac{9\pi}{4}+\frac{25\pi}{4}=\frac{19\pi}{2}+1$，所以在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自陰影部分的概率是$\frac{\frac{19\pi}{2}+1}{40}=\frac{19\pi + 2}{80}$.故選D.
16.新課標(biāo)推理能力「2024 廣東廣州南沙期末」如圖,平行四邊形 ABCD 中,AC,BD 是兩條對(duì)角線,現(xiàn)在從以下四個(gè)關(guān)系：①$AB = BC$,②$AC = BD$,③$AC\perp BD$,④$AB\perp BC$中隨機(jī)取出一個(gè)作為條件,即可推出平行四邊形 ABCD 是矩形的概率為
$\frac{1}{2}$
.
答案：16.答案$\frac{1}{2}$
解析 根據(jù)矩形的判定定理，可推出平行四邊形ABCD是矩形的有②④，∴隨機(jī)取出一個(gè)作為條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形的概率為$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
