8.「2025貴州遵義紅花崗期末,」如圖,在Rt△ABC中,∠C= 90°,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,三個(gè)切點(diǎn)分別為D,E,F,若BF= 4,AF= 6,則△ABC的面積是(
A
)
A.24
B.28
C.32
D.36
答案：A 如圖，連接 $ DO $，$ EO $，$ \because \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為 $ D $，$ E $，$ F $，$ \therefore OE \perp AC $，$ OD \perp BC $，$ CD = CE $，$ BD = BF = 4 $，$ AF = AE = 6 $，$ \therefore AB = AF + BF = 6 + 4 = 10 $，$ \because \angle C = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四邊形 $ OECD $ 是矩形，又 $ \because EO = DO $，$ \therefore $ 矩形 $ OECD $ 是正方形，設(shè) $ EO = x $，則 $ EC = CD = x $，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，由勾股定理得 $ BC^{2} + AC^{2} = AB^{2} $，故 $ (x + 4)^{2} + (x + 6)^{2} = 10^{2} $，$ \therefore x = 2 $，$ \therefore BC = 6 $，$ AC = 8 $，$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 $. 故選 A.
9.學(xué)科對(duì)角互特色補(bǔ)模型「2025山東聊城期中改編,」如圖,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,AB= 7,AC= 9,∠BAC= 60°,連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,則AD的長(zhǎng)為______
$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
.
答案：答案 $ \frac{16\sqrt{3}}{3} $
解析 如圖，連接 $ DB $，$ DC $，過 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 交 $ AB $ 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) $ E $，$ DF \perp AC $ 于點(diǎn) $ F $，$ \because $ 點(diǎn) $ I $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)心，$ \angle BAC = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = \angle CAD = 30^{\circ} $，$ \therefore BD = CD $，$ \because DE \perp AB $，$ DF \perp AC $，$ \therefore \angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ} $，$ DE = DF $，$ \therefore \text{Rt} \triangle DEB \cong \text{Rt} \triangle DFC $，$ \text{Rt} \triangle ADE \cong \text{Rt} \triangle ADF $，$ \therefore EB = FC $，$ AE = AF $，又 $ \because AB = 7 $，$ AC = 9 $，$ \therefore AF = \frac{7 + 9}{2} = 8 $，在 $ \text{Rt} \triangle ADF $ 中，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，$ \therefore DF = \frac{1}{2} AD $，由勾股定理得 $ DF^{2} + AF^{2} = AD^{2} $，即 $ \left( \frac{1}{2} AD \right)^{2} + 8^{2} = AD^{2} $，解得 $ AD = \frac{16\sqrt{3}}{3} $.
10.「2024江蘇鹽城鹽都期中,」如圖,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為F、G、H,點(diǎn)D、E分別為BC、AC上的點(diǎn),且DE為⊙O的切線.
(1)若∠C= 40°,求∠AOB的度數(shù).
110°
(2)若AC= 8,AB= 6,BC= 9,求△CDE的周長(zhǎng).
11
答案：解析 (1) $ \because \angle C = 40^{\circ} $，$ \therefore \angle ABC + \angle BAC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} $，$ \because \odot O $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)切圓，$ \therefore \angle BAO = \angle CAO $，$ \angle ABO = \angle CBO $，$ \therefore \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ} $，$ \therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} $.
(2) 設(shè) $ DE $ 與 $ \odot O $ 相切于點(diǎn) $ I $，如圖，$ \because \odot O $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)切圓，$ DE $ 為 $ \odot O $ 的切線，$ \therefore EH = EI $，$ DI = DG $，$ \therefore \triangle CDE $ 的周長(zhǎng) $ = CD + CE + DE = CD + CE + EI + DI = CD + CE + EH + DG = CG + CH $. 易知 $ AF = AH $，$ BF = BG $，$ CG = CH $，$ \therefore CG + CH = (AB + BC + AC) - (AH + AF + BF + BG) = 6 + 9 + 8 - 2AB = 6 + 9 + 8 - 2 \times 6 = 11 $.
11.「2024山東煙臺(tái)中考,」如圖,AB是⊙O的直徑,△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心,連接CI并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D.E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一點(diǎn),連接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC= 25°,求∠CEB的度數(shù).
115°
(2)找出圖中所有與DI相等的線段,并證明.
AD,BD
(3)若CI= 2$\sqrt{2}$,DI= $\frac{13}{2}\sqrt{2}$,求△ABC的周長(zhǎng).
30
答案：解析 (1) $ \because AB $ 是 $ \odot O $ 的直徑，$ \therefore \angle ADB = \angle ACB = 90^{\circ} $，又 $ \because \angle ABC = 25^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} $，$ \because $ 四邊形 $ ABEC $ 是 $ \odot O $ 的內(nèi)接四邊形，$ \therefore \angle CEB + \angle CAB = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CEB = 180^{\circ} - \angle CAB = 115^{\circ} $.
(2) $ DI = AD = BD $. 證明如下：
如圖，連接 $ AI $，
$ \because $ 點(diǎn) $ I $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)心，$ \therefore \angle CAI = \angle BAI $，$ \angle ACI = \angle BCI = \frac{1}{2} \angle ACB = 45^{\circ} $，$ \therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $，$ \therefore \angle DAB = \angle DCB = \angle ACI $，$ AD = BD $，$ \because \angle DAI = \angle DAB + \angle BAI $，$ \angle DIA = \angle ACI + \angle CAI $，$ \therefore \angle DAI = \angle DIA $，$ \therefore DI = AD = BD $.
(3) 如圖，過 $ I $ 分別作 $ IQ \perp AB $，$ IF \perp AC $，$ IP \perp BC $，垂足分別為 $ Q $，$ F $，$ P $，
$ \because $ 點(diǎn) $ I $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)心，即點(diǎn) $ I $ 為 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)切圓的圓心，$ \therefore Q $，$ F $，$ P $ 分別為該內(nèi)切圓與 $ \triangle ABC $ 三邊的切點(diǎn)，$ \therefore AQ = AF $，$ CF = CP $，$ BQ = BP $，$ \because CI = 2\sqrt{2} $，$ \angle IFC = 90^{\circ} $，$ \angle ACI = 45^{\circ} $，$ \therefore CF = CP = 2 $，$ \because DI = AD = BD $，$ DI = \frac{13}{2}\sqrt{2} $，$ \angle ADB = 90^{\circ} $，$ \therefore AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = 13 $，$ \therefore \triangle ABC $ 的周長(zhǎng) $ = AB + AC + BC = AB + AF + CF + CP + BP = AB + AQ + BQ + 2CF = 2AB + 2CF = 2 \times 13 + 2 \times 2 = 30 $.
12.新課標(biāo)推理能力「2024四川內(nèi)江中考」如圖,在△ABC中,∠ABC= 60°,BC= 8,E是BC邊上一點(diǎn),且BE= 2,點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn),連接PE,PC,則PE+PC的最小值為______
2√13
.
答案：答案 $ 2\sqrt{13} $
解析 如圖，在 $ AB $ 上取點(diǎn) $ F $，使 $ BF = BE = 2 $，連接 $ PF $，$ CF $，過點(diǎn) $ F $ 作 $ FH \perp BC $ 于點(diǎn) $ H $，$ \because $ 點(diǎn) $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)心，$ \therefore BI $ 平分 $ \angle ABC $，$ \therefore \angle ABD = \angle CBD $，又 $ BP = BP $，$ \therefore \triangle BFP \cong \triangle BEP (\text{SAS}) $，$ \therefore PF = PE $，$ \therefore PE + PC = PF + PC \geq CF $.
當(dāng) $ C $，$ P $，$ F $ 三點(diǎn)共線時(shí)，$ PE + PC $ 的值最小，最小值為 $ CF $ 的長(zhǎng)，$ \because FH \perp BC $，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BFH = 30^{\circ} $，$ \therefore BH = \frac{1}{2} BF = 1 $，$ \therefore FH = \sqrt{BF^{2} - BH^{2}} = \sqrt{3} $，$ CH = BC - BH = 7 $，$ \therefore CF = \sqrt{CH^{2} + FH^{2}} = 2\sqrt{13} $，$ \therefore PE + PC $ 的最小值為 $ 2\sqrt{13} $.
