1.「2024福建廈門湖里期末」如圖,PA,PB為⊙O的兩條切線,切點分別為A,B,連接OP交⊙O于點C,交弦AB于點D.下列結(jié)論中錯誤的是(
D
)
A.PA= PB
B.OP⊥AB
C.$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$
D.△APB是等邊三角形
答案：D 由切線長定理可得 $ PA = PB $，$ \angle APO = \angle BPO $，$ \therefore AB \perp OP $，$ AD = BD $，$ \therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $，故 A，B，C 正確，而 $ \triangle APB $ 中只滿足 $ PA = PB $，無其他條件證明 $ \triangle APB $ 是等邊三角形. 故選 D.
2.「2024江蘇南通通州期中」如圖,Rt△ABC中,∠C= 90°,O是邊AC上一點,以O(shè)為圓心,OC長為半徑的圓與邊AB相切于點D.若BD= 5,AD= 8,則OC的長為(
B
)
A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
答案：B 連接 $ OD $，$ \because \angle C = 90^{\circ} $，$ \therefore BC \perp OC $，$ \because OC $ 是 $ \odot O $ 的半徑，$ \therefore BC $ 是 $ \odot O $ 的切線，$ \because \odot O $ 與 $ AB $ 相切于點 $ D $，$ BD = 5 $，$ AD = 8 $，$ \therefore BC = BD = 5 $，$ AB = BD + AD = 5 + 8 = 13 $，$ \therefore AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12 $，$ \because AB \perp OD $，$ \therefore \angle ADO = 90^{\circ} $，$ \therefore AD^{2} + OD^{2} = OA^{2} $，$ \because OD = OC $，$ OA = 12 - OC $，$ \therefore 8^{2} + OC^{2} = (12 - OC)^{2} $，解得 $ OC = \frac{10}{3} $，故選 B.
3.「2024江蘇鹽城建湖期中」已知：點P是⊙O外一點.
(1)新尺規(guī)作圖 尺規(guī)作圖：如圖,過點P作出⊙O的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若點C在⊙O上(點C不與A,B兩點重合),且∠APB= 40°,則∠ACB的度數(shù)為______
70°或110°
.
答案：解析 (1) 如圖所示.
提示：連接 $ OP $，作線段 $ OP $ 的垂直平分線，交 $ OP $ 于點 $ M $，再以點 $ M $ 為圓心，$ PM $ 的長為半徑畫圓，分別交 $ \odot O $ 于點 $ A $，$ B $，連接 $ PA $，$ PB $.
證明：連接 $ OA $，$ OB $，$ \because OP $ 為 $ \odot M $ 的直徑，$ \therefore \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} $，$ \therefore OA \perp AP $，$ OB \perp BP $，$ \because OA $，$ OB $ 為 $ \odot O $ 的半徑，$ \therefore PA $，$ PB $ 為 $ \odot O $ 的切線，則 $ PA $，$ PB $ 即為所求.
(2) $ 70^{\circ} $ 或 $ 110^{\circ} $.
提示：連接 $ OA $，$ OB $，$ \because PA $，$ PB $ 為 $ \odot O $ 的兩條切線，$ \therefore OA \perp PA $，$ OB \perp PB $，$ \therefore \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} $，$ \because \angle APB = 40^{\circ} $，$ \therefore \angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAP - \angle OBP - \angle APB = 140^{\circ} $.
當點 $ C $ 在優(yōu)弧 $ AB $ 上時，$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 70^{\circ} $.
當點 $ C $ 在劣弧 $ AB $ 上時，$ \angle ACB = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle AOB = 110^{\circ} $. 綜上所述，$ \angle ACB $ 的度數(shù)為 $ 70^{\circ} $ 或 $ 110^{\circ} $.
4.「2023浙江湖州中考」如圖,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,點O在邊AC上,以點O為圓心,OC長為半徑的半圓與斜邊AB相切于點D,交OA于點E,連接OB.
(1)求證：BD= BC.
證明：∵∠ACB= 90°，OC為半圓O的半徑，∴BC為半圓O的切線.∵半圓O與AB相切于點D，∴BD= BC.
(2)已知OC= 1,∠A= 30°,求AB的長.
2√3
答案：解析 (1) 證明：$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ CE $ 為半圓 $ O $ 的直徑，$ \therefore BC $ 為半圓 $ O $ 的切線. $ \because $ 半圓 $ O $ 與 $ AB $ 相切于點 $ D $，$ \therefore BD = BC $.
(2) 連接 $ OD $ (圖略)，$ \because \angle A = 30^{\circ} $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle ABC = 60^{\circ} $，易知 $ \text{Rt} \triangle ODB \cong \text{Rt} \triangle OCB $，$ \therefore \angle CBO = \angle DBO = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ} $. 在 $ \text{Rt} \triangle OBC $ 中，$ OC = 1 $，$ \therefore OB = 2OC = 2 $，$ \therefore BC = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} $，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 30^{\circ} $，$ \therefore AB = 2BC = 2\sqrt{3} $.
5.「2023北京朝陽期末」用無刻度的直尺和圓規(guī)確定△ABC的內(nèi)心,下列作法正確的是(
C
)
答案：C 三角形三條角平分線的交點即為三角形的內(nèi)心.
6.「2025湖北武漢硚口月考」如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,∠C= 90°,AC= 3,AB= 5,則∠AOB的大小是______
135°
；⊙O的半徑是______
1
.
答案：答案 $ 135^{\circ} $；$ 1 $
解析 $ \because \angle C = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB + \angle CBA = 90^{\circ} $，$ \because \odot O $ 是 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 的內(nèi)切圓，$ \therefore \angle OAB = \frac{1}{2} \angle CAB $，$ \angle OBA = \frac{1}{2} \angle CBA $，$ \therefore \angle OAB + \angle OBA = 45^{\circ} $，$ \therefore \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} $.
連接 $ OC $ (圖略)，$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 3 $，$ AB = 5 $，$ \therefore BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = 4 $. 設(shè) $ \odot O $ 的半徑為 $ r $，$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $，$ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AC \times r + \frac{1}{2} BC \times r + \frac{1}{2} AB \times r = \frac{1}{2} \times (3 + 4 + 5) r = 6r $，$ \therefore r = 1 $，即 $ \odot O $ 的半徑為 $ 1 $.
方法解讀：三角形的面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
由本題可得出結(jié)論：對于任意三角形，若該三角形周長為 $ C $，內(nèi)切圓半徑為 $ r $，面積為 $ S $，則有 $ S = \frac{1}{2} Cr $，亦可推得 $ r = \frac{2S}{C} $.
7.「2023山東聊城中考,」如圖,點O是△ABC外接圓的圓心,點I是△ABC的內(nèi)心,連接OB,IA.若∠CAI= 35°,則∠OBC的度數(shù)為(
C
)
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°
答案：C 如圖，連接 $ OC $，$ \because $ 點 $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的內(nèi)心，$ \therefore AI $ 平分 $ \angle BAC $，$ \because \angle CAI = 35^{\circ} $，$ \therefore \angle BAC = 2 \angle CAI = 70^{\circ} $，$ \because $ 點 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 外接圓的圓心，$ \therefore \angle BOC = 2 \angle BAC = 140^{\circ} $，$ \because OB = OC $，$ \therefore \angle OBC = \angle OCB = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - \angle BOC) = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 140^{\circ}) = 20^{\circ} $. 故選 C.
